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Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace Exercices

Géometrie dans l’espace – Bac S Amérique du Nord 2013

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.

On considère les points $ A\left(0 ; 4 ; 1\right), B \left(1 ; 3 ; 0\right), C\left(2 ; - 1 ; - 2\right) $ et $ D \left(7 ; - 1 ; 4\right) $.

  1. Démontrer que les points $ A, B $ et $ C $ ne sont pas alignés.

  2. Soit $ \Delta $ la droite passant par le point $ D $ et de vecteur directeur

    $ \vec{u} \left(2 ; - 1 ; 3\right) $.

    1. Démontrer que la droite $ \Delta $ est orthogonale au plan $ \left(ABC\right) $.
    2. En déduire une équation cartésienne du plan $ \left(ABC\right) $.
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $ \Delta $.
    4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $ \Delta $ et du plan $ \left(ABC\right) $.

  3. Soit $ \mathscr P_{1} $ le plan d'équation $ x+y+z=0 $ et $ \mathscr P_{2} $ le plan d'équation $ x+4y+2=0 $.

    1. Démontrer que les plans $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $ sont sécants.
    2. Vérifier que la droite $ d $, intersection des plans $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $, a pour représentation paramétrique

      $ \left\{ \begin{matrix} x = - 4t - 2 \\ y = t \\ z = 3t+2 \end{matrix}\right. \qquad t \in \mathbb{R} $.
    3. La droite $ d $ et le plan $ \left(ABC\right) $ sont-ils sécants ou parallèles ?

Corrigé

  1. Pour démontrer que les points $ A, B $ et $ C $ ne sont pas alignés, on calcule les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ :
    $ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 - 0 \\ 3 - 4 \\ 0 - 1 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{pmatrix} $

    $ \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 - 0 \\ - 1 - 4 \\ - 2 - 1 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \\ - 5 \\ - 3 \end{pmatrix} $

    On cherche s'il existe un réel $ k $ tel que $ \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB} $.

    On devrait avoir :

    $ \begin{cases} 2 = k \times 1 \\ - 5 = k \times (- 1) \\ - 3 = k \times (- 1) \end{cases} \iff \begin{cases} k = 2 \\ k = 5 \\ k = 3 \end{cases} $

    Ce système n'a pas de solution, donc les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ ne sont pas colinéaires.

    Les points $ A, B $ et $ C $ ne sont donc pas alignés.

    1. La droite $ \Delta $ est orthogonale au plan $ (ABC) $ si son vecteur directeur $ \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{pmatrix} $ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $ (ABC) $, par exemple $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $.

      On calcule les produits scalaires :

      $ \vec{u} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 \times 1 + (- 1) \times (- 1) + 3 \times (- 1) = 2 + 1 - 3 = 0 $

      $ \vec{u} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 2 + (- 1) \times (- 5) + 3 \times (- 3) = 4 + 5 - 9 = 0 $

      Le vecteur $ \vec{u} $ est orthogonal aux vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan $ (ABC) $.

      La droite $ \Delta $ est donc orthogonale au plan $ (ABC) $.

    2. D'après la question précédente, le vecteur $ \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{pmatrix} $ est un vecteur normal au plan $ (ABC) $.

      Une équation cartésienne du plan $ (ABC) $ est de la forme $ 2x - y + 3z + d = 0 $.

      Le point $ A(0 ; 4 ; 1) $ appartient au plan, donc :

      $ 2(0) - (4) + 3(1) + d = 0 \iff - 4 + 3 + d = 0 \iff d = 1 $

      L'équation du plan $ (ABC) $ est donc :

      $ 2x - y + 3z + 1 = 0 $

    3. La droite $ \Delta $ passe par le point $ D(7 ; - 1 ; 4) $ et a pour vecteur directeur $ \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{pmatrix} $.

      Une représentation paramétrique de $ \Delta $ est :

      $ \begin{cases} x = 7 + 2t \\ y = - 1 - t \\ z = 4 + 3t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $
    4. Le point $ H $ est l'intersection de la droite $ \Delta $ et du plan $ (ABC) $.

      Ses coordonnées $ (x ; y ; z) $ vérifient le système :

      $ \begin{cases} x = 7 + 2t \\ y = - 1 - t \\ z = 4 + 3t \\ 2x - y + 3z + 1 = 0 \end{cases} $

      On remplace les expressions de $ x, y $ et $ z $ dans l'équation du plan :

      $ 2(7 + 2t) - (- 1 - t) + 3(4 + 3t) + 1 = 0 $

      $ 14 + 4t + 1 + t + 12 + 9t + 1 = 0 $

      $ 14t + 28 = 0 \iff 14t = - 28 \iff t = - 2 $

      On calcule alors les coordonnées de $ H $ :

      $ x = 7 + 2(- 2) = 3 $

      $ y = - 1 - (- 2) = 1 $

      $ z = 4 + 3(- 2) = - 2 $

      Le point $ H $ a pour coordonnées $ (3 ; 1 ; - 2) $.
    1. Un vecteur normal au plan $ \mathscr P_{1} $ est $ \vec{n}_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $.

      Un vecteur normal au plan $ \mathscr P_{2} $ est $ \vec{n}_{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} $.

      Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles ($ 1/1 \neq 1/4 $), les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

      Les plans $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $ ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants.

    2. La droite $ d $ est l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient :

      $ \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + 4y + 2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} z = - x - y \\ x = - 4y - 2 \end{cases} $

      En posant $ y = t $ (avec $ t \in \mathbb{R} $), on obtient :

      $ x = - 4t - 2 $

      $ z = - (- 4t - 2) - t = 4t + 2 - t = 3t + 2 $

      On retrouve bien la représentation paramétrique de la droite $ d $ :

      $ \begin{cases} x = - 4t - 2 \\ y = t \\ z = 3t + 2 \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $
    3. La droite $ d $ a pour vecteur directeur $ \vec{v} \begin{pmatrix} - 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} $.

      Le plan $ (ABC) $ a pour vecteur normal $ \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{pmatrix} $.

      On calcule le produit scalaire $ \vec{v} \cdot \vec{u} $ :

      $ \vec{v} \cdot \vec{u} = (- 4) \times 2 + 1 \times (- 1) + 3 \times 3 = - 8 - 1 + 9 = 0 $

      Le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, la droite $ d $ est donc parallèle au plan $ (ABC) $.

      Voyons si elle est contenue dans le plan ou strictement parallèle.

      On prend un point de la droite $ d $ (pour $ t = 0 $), soit le point $ M(- 2 ; 0 ; 2) $.

      On teste si $ M $ appartient au plan $ (ABC) $ :

      $ 2(- 2) - (0) + 3(2) + 1 = - 4 + 6 + 1 = 3 \neq 0 $

      Le point $ M $ n'appartient pas au plan $ (ABC) $, donc la droite $ d $ est strictement parallèle au plan $ (ABC) $.

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne de plan