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Suites et récurrence Exercices

Suites – Bac S Liban 2013

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

On considère la suite numérique $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$\left\{ \begin{array}{l} v_0 = 1 \\ v_{n+1} = \dfrac{9}{6 - v_n} \end{array} \right.$

Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

    Algorithme N° 1

    Variables : $v$ est un réel
      $i$ et $n$ sont des entiers naturels
    Début : Lire $n$
      $v$ prend la valeur $1$
      Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire
      $\quad v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$
      Fin pour
      Afficher $v$

    Algorithme N° 2

    Variables : $v$ est un réel
      $i$ et $n$ sont des entiers naturels
    Début : Lire $n$
      Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire
      $\quad v$ prend la valeur $1$
      $\quad$ Afficher $v$
      $\quad v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$
      Fin pour

    Algorithme N° 3

    Variables : $v$ est un réel
      $i$ et $n$ sont des entiers naturels
    Début : Lire $n$
      $v$ prend la valeur $1$
      Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire
      $\quad$ Afficher $v$
      $\quad v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$
      Fin pour

  2. Pour $n = 10$, on obtient l'affichage suivant :

    $1$ $1{,}800$ $2{,}143$ $2{,}333$ $2{,}455$ $2{,}538$ $2{,}600$ $2{,}647$ $2{,}684$ $2{,}714$

    Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :

    $2{,}967$ $2{,}968$ $2{,}968$ $2{,}968$ $2{,}969$ $2{,}969$ $2{,}969$ $2{,}970$ $2{,}970$ $2{,}970$

    Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $(v_n)$ ?

    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 < v_n < 3$.
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} - v_n = \dfrac{(3 - v_n)^2}{6 - v_n}$. La suite $(v_n)$ est-elle monotone ?
    3. Démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente.

Partie B

Recherche de la limite de la suite $(v_n)$.

On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$w_n = \dfrac{1}{v_n - 3}$
  1. Démontrer que $(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
  2. En déduire l'expression de $w_n$, puis celle de $v_n$ en fonction de $n$.
  3. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

Corrigé

Partie A

  1. C'est l'algorithme N° 3 qui convient.
    L'algorithme N° 1 n'affiche que $v_n$ (le dernier terme calculé, après la boucle). L'algorithme N° 2 réinitialise $v$ à $1$ à chaque itération : il affiche donc toujours $1$. Seul l'algorithme N° 3 initialise $v$ à $v_0 = 1$ puis, à chaque tour, affiche d'abord le terme courant avant de calculer le terme suivant.
  2. D'après les valeurs affichées, on peut conjecturer que la suite $(v_n)$ est croissante et qu'elle converge vers $3$.
    1. On démontre par récurrence la propriété $P_n$ : « $0 < v_n < 3$ ».
      Initialisation : pour $n = 0$, $v_0 = 1$ et $0 < 1 < 3$, donc $P_0$ est vraie.
      Hérédité : supposons $P_n$ vraie pour un entier $n$ fixé, soit $0 < v_n < 3$.
      Alors $-3 < -v_n < 0$, puis $3 < 6 - v_n < 6$, d'où $6 - v_n > 0$.
      En passant à l'inverse (la fonction $x \mapsto 1/x$ est décroissante sur $]0 ; +\infty[$) :
      $\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{6 - v_n} < \dfrac{1}{3}$
      En multipliant par $9$ :
      $\dfrac{3}{2} < \dfrac{9}{6 - v_n} < 3$
      c'est-à-dire $\dfrac{3}{2} < v_{n+1} < 3$. Comme $0 < \dfrac{3}{2}$, on a bien $0 < v_{n+1} < 3$ : $P_{n+1}$ est vraie.
      Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $0 < v_n < 3$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ :
      $v_{n+1} - v_n = \dfrac{9}{6 - v_n} - v_n = \dfrac{9 - v_n (6 - v_n)}{6 - v_n} = \dfrac{9 - 6 v_n + v_n^2}{6 - v_n} = \dfrac{(3 - v_n)^2}{6 - v_n}$
      Comme $0 < v_n < 3$, on a $6 - v_n > 0$ et $(3 - v_n)^2 \geqslant 0$ (avec égalité seulement si $v_n = 3$, ce qui est exclu). Donc $v_{n+1} - v_n > 0$ : la suite $(v_n)$ est strictement croissante.
    3. La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $3$. D'après le théorème de la convergence monotone, elle converge. On note $\ell$ sa limite ; d'après 3.a, $0 < \ell \leqslant 3$.

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ :
    $w_{n+1} = \dfrac{1}{v_{n+1} - 3} = \dfrac{1}{\dfrac{9}{6 - v_n} - 3} = \dfrac{1}{\dfrac{9 - 3(6 - v_n)}{6 - v_n}} = \dfrac{6 - v_n}{9 - 18 + 3 v_n} = \dfrac{6 - v_n}{3 v_n - 9} = \dfrac{6 - v_n}{3(v_n - 3)}$
    On décompose le numérateur : $6 - v_n = -(v_n - 3) + 3$, donc :
    $w_{n+1} = \dfrac{-(v_n - 3) + 3}{3(v_n - 3)} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{v_n - 3} = w_n - \dfrac{1}{3}$
    La suite $(w_n)$ est donc arithmétique de raison $r = -\dfrac{1}{3}$.

  2. Le premier terme est $w_0 = \dfrac{1}{v_0 - 3} = \dfrac{1}{1 - 3} = -\dfrac{1}{2}$.
    On en déduit $w_n = w_0 + n r = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{n}{3} = -\dfrac{2 n + 3}{6}$.
    Comme $w_n = \dfrac{1}{v_n - 3}$, on a $v_n - 3 = \dfrac{1}{w_n}$, d'où :

    $v_n = 3 + \dfrac{1}{w_n} = 3 - \dfrac{6}{2 n + 3}$

  3. On a $\lim\limits_{n \to +\infty} (2 n + 3) = +\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{6}{2 n + 3} = 0$. On en déduit :

    $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 3$