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Limites d'une fonction Exercices

[ROC] Limites de la fonction exponentielle

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Prérequis : La fonction exponentielle (notée $ \text{exp} $ ou $ x\mapsto \text{e}^{x} $) est l'unique fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que :

$ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $

$ \text{exp}\left(0\right)=1 $

La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur $ \mathbb{R} $.

Pour tous réels $ a $ et $ b $ :

  • $ \text{e}^{a+b}=\text{e}^{a}\times \text{e}^{b} $
  • $ \text{e}^{ - a}=\dfrac{1}{\text{e}^{a}} $
  • $ \text{e}^{a - b}=\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} $

L'objectif de cet exercice est de démontrer les principaux résultats concernant les limites de la fonction exponentielle.

Partie A

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{e}^{x} - x $.

  1. Étudier le sens de variation de la fonction $ f $.
  2. En déduire que pour tout réel $ x $ : $ \text{e}^{x} > x $.

    Montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty $
  3. A l'aide de la question précédente, montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\text{e}^{x}=0 $

Partie B

Soit la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ g\left(x\right)=\text{e}^{x} - \dfrac{x^{2}}{2} $.

  1. Étudier le sens de variation de la fonction $ g $.

    Montrer que $ g\left(x\right) > 0 $ pour tout $ x > 0 $.
  2. En déduire la limite quand $ x $ tend vers $ +\infty $ de $ \dfrac{\text{e}^{x}}{x} $.
  3. Montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x \text{e}^{x}=0 $.

Corrigé

Partie A

  1. $ f^{\prime}\left(x\right)=\text{e}^{x} - 1 $

    $ f^{\prime}\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow \text{e}^{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow \text{e}^{x} > 1 \Leftrightarrow \text{e}^{x} > \text{e}^{0} \Leftrightarrow x > 0 $ car le fonction exponentielle est strictement croissante.

    Par ailleurs $ f\left(0\right)=\text{e}^{0} - 0=1 $.

    On en déduit le tableau de variation de $ f $

    Tableau de variation de f(x)=e^x-x
  2. Le tableau précédent montre que pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ f\left(x\right) > 0 $, c'est-à-dire $ \text{e}^{x} > x $.

    Or $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty $. Donc d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty $
  3. On pose $ X= - x $. Lorsque $ x\rightarrow - \infty $, $ X\rightarrow +\infty $ et :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\text{e}^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\text{e}^{ - X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{\text{e}^{X}} $

    Or d'après la question précédente $ \lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\text{e}^{X}=+\infty $ donc par quotient :

    $ \lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{\text{e}^{X}}=0 $

    En conclusion : $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\text{e}^{x}=0 $

Partie B

  1. $ g^{\prime}\left(x\right)=\text{e}^{x} - x=f\left(x\right) > 0 $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $.

    Donc la fonction $ g $ est croissante sur $ \mathbb{R} $

    On en déduit que pour $ x > 0 $, $ g\left(x\right) > g\left(0\right)=1 > 0 $
  2. Pour $ x $ strictement positif $ g\left(x\right) > 0 $ donc $ \text{e}^{x} - \dfrac{x^{2}}{2} > 0 $ donc $ \text{e}^{x} > \dfrac{x^{2}}{2} $

    Par conséquent : $ \dfrac{\text{e}^{x}}{x} > \dfrac{x}{2} $ et comme $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x}{2}=+\infty $, d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty $
  3. On pose, là encore, $ X= - x $ :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x \text{e}^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty } - X \text{e}^{ - X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty } - \dfrac{X}{\text{e}^{X}} $

    D'après la question précédente $ \dfrac{\text{e}^{X}}{X} $ tend vers $ +\infty $ lorsque $ X\rightarrow +\infty $ donc $ \dfrac{X}{\text{e}^{X}} $ (qui est son inverse) tend vers $ 0 $.

    Donc $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x \text{e}^{x}=0 $.