Utiliser somme et produit des racines
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Soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ un trinôme dont le discriminant est positif et qui admet deux racines $x_1$ et $x_2$. Alors :
Application : trouver l'autre racine
Pour trouver l'autre racine d'un trinôme à partir d'une racine évidente :
- Étape 1 : Tester une valeur simple ($1$, $-1$, $2$…) et vérifier qu'elle annule le trinôme
- Étape 2 : Calculer la somme $S = -\dfrac{b}{a}$ ou le produit $P = \dfrac{c}{a}$
- Étape 3 : En déduire l'autre racine
Trouver la seconde racine
Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Étape 1 : On teste $x_1 = 2$ :
$2$ est bien racine du trinôme.
Étape 2 : Le produit des racines vaut :
Étape 3 : Comme $x_1 \times x_2 = 6$ et $x_1 = 2$, on obtient :
Vérification (somme) : $x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5 = -\dfrac{b}{a}$.
L'ensemble des solutions est $S = \{2\,;\,3\}$.
Trouver deux nombres dont on connaît somme et produit
Trouver deux nombres dont la somme vaut $7$ et le produit vaut $12$.
Étape 1 : Ces nombres sont les racines du trinôme $x^2 - Sx + P = x^2 - 7x + 12$.
Étape 2 : On calcule le discriminant :
Étape 3 : Les racines sont :
Les deux nombres cherchés sont $3$ et $4$.
Remarque
Avant de calculer $\Delta$, il est souvent utile de tester les valeurs $1$ et $-1$ dans le trinôme : si $a + b + c = 0$ alors $1$ est racine ; si $a - b + c = 0$ alors $-1$ est racine.
Attention
Toujours vérifier que la valeur testée annule réellement le trinôme avant d'utiliser la propriété somme/produit. Sinon, le calcul de l'autre racine sera faux.