Utiliser les règles de calcul sur les puissances
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Créer un compteRappel des 5 règles
Pour $ a $ et $ b $ non nuls, $ n $ et $ m $ entiers relatifs :
- Produit de puissances de même base : $ a^{n} \times a^{m} = a^{n+m} $
- Quotient de puissances de même base : $ \dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m} $
- Inverse : $ \dfrac{1}{a^{m}} = a^{-m} $
- Puissance d'une puissance : $ \left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \times m} $
- Puissance d'un produit : $ a^{n} \times b^{n} = \left(a \times b\right)^{n} $
Méthode
Pour simplifier une expression contenant des puissances :
- Identifier les bases identiques dans l'expression.
- Choisir la règle adaptée (produit, quotient, puissance de puissance...).
- Calculer le nouvel exposant.
- Simplifier le résultat si nécessaire.
Produit de puissances de même base
Simplifier $ A = 5^{3} \times 5^{-7} $.
La base est la même ($ 5 $), on applique la règle du produit :
$ A = 5^{3 + (-7)} = 5^{-4} $
On peut aussi écrire :
$ A = \dfrac{1}{5^{4}} = \dfrac{1}{625} $
Quotient de puissances
Simplifier $ B = \dfrac{2^{5}}{2^{-3}} $.
On applique la règle du quotient :
$ B = 2^{5-(-3)} = 2^{5+3} = 2^{8} = 256 $
Puissance d'une puissance
Simplifier $ C = \left(10^{3}\right)^{-2} $.
On applique la règle puissance de puissance :
$ C = 10^{3 \times (-2)} = 10^{-6} = 0{,}000\,001 $
Puissance d'un produit
Simplifier $ D = 4^{3} \times 25^{3} $.
Les exposants sont identiques ($ 3 $), on applique la règle :
$ D = \left(4 \times 25\right)^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000 $
Expression combinant plusieurs règles
Simplifier $ E = \dfrac{3^{4} \times 3^{-2}}{3^{5}} $.
Étape 1 : Au numérateur, on applique la règle du produit :
$ E = \dfrac{3^{4+(-2)}}{3^{5}} = \dfrac{3^{2}}{3^{5}} $
Étape 2 : On applique la règle du quotient :
$ E = 3^{2-5} = 3^{-3} = \dfrac{1}{3^{3}} = \dfrac{1}{27} $
Attention
- Les règles du produit et du quotient ne s'appliquent que si les bases sont identiques. On ne peut pas simplifier $ 2^{3} \times 3^{4} $ avec ces règles.
- Attention au signe de la base : $ (-2)^{3} = -8 $ (exposant impair) mais $ (-2)^{4} = 16 $ (exposant pair).
- Ne pas confondre $ -2^{3} = -8 $ (seul $ 2 $ est élevé au cube) et $ (-2)^{3} = -8 $ (c'est $ -2 $ qui est élevé au cube). En revanche, $ -2^{4} = -16 $ alors que $ (-2)^{4} = 16 $.