Image d’un cercle par une translation

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

On considère un cercle $ \mathcal{C} $ de centre $ O $ et de rayon $ 5 $ cm.

On note $ \mathcal{C}' $ l'image de $ \mathcal{C} $ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{OO'} $ où $ OO' = 7 $ cm.

Quelle est la nature de la figure $ \mathcal{C}' $ ? Justifier.
Donner le rayon de $ \mathcal{C}' $ ainsi que son centre.
Calculer le périmètre de $ \mathcal{C}' $. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $ 0{,}01 $ cm près.
Calculer l'aire du disque délimité par $ \mathcal{C}' $. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $ 0{,}01 $ cm² près.
Que représente la distance $ OO' $ pour les deux cercles ? Justifier.

Corrigé

Une translation conserve la nature des figures : l'image d'un cercle est un cercle. Donc $ \mathcal{C}' $ est un cercle.
Une translation conserve les longueurs, donc le rayon de $ \mathcal{C}' $ est égal à celui de $ \mathcal{C} $ : $ \mathcal{C}' $ a pour rayon $ 5 $ cm.
Le centre de $ \mathcal{C}' $ est l'image du centre $ O $ par la translation, c'est-à-dire le point $\mathbf{O'}$.
Le périmètre d'un cercle de rayon $ r $ vaut $ 2\pi r $. Avec $ r = 5 $ cm :
$ \mathcal{P} = 2\pi \times 5 = 10\pi $ cm
Valeur exacte : $ 10\pi $ cm.
Valeur approchée : $ 10\pi \approx 31{,}42 $ cm, donc $ \mathcal{P} \approx 31{,}42 $ cm.
L'aire du disque de rayon $ r $ vaut $ \pi r^2 $. Avec $ r = 5 $ cm :
$ \mathcal{A} = \pi \times 5^2 = 25\pi $ cm²
Valeur exacte : $ 25\pi $ cm².
Valeur approchée : $ 25\pi \approx 78{,}54 $ cm², donc $ \mathcal{A} \approx 78{,}54 $ cm².
Le point $ O' $ est l'image de $ O $ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{OO'} $. La distance $ OO' = 7 $ cm représente donc la distance entre les deux centres des cercles $ \mathcal{C} $ et $ \mathcal{C}' $.

C'est aussi la longueur du déplacement effectué par chaque point du cercle $ \mathcal{C} $ pour obtenir son image sur $ \mathcal{C}' $.