Utiliser les formules de duplication
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Créer un compteRappel des formules de duplication
Pour tout réel $ a $ :
- $ \cos(2a) = \cos^{2}(a) - \sin^{2}(a) = 2\cos^{2}(a) - 1 = 1 - 2\sin^{2}(a) $
- $ \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) $
Méthode
Les formules de duplication s'utilisent dans deux sens :
- Sens direct : transformer un produit ou un carré trigonométrique en une expression avec l'angle double (par exemple $ 2\sin(a)\cos(a) = \sin(2a) $).
- Sens inverse (linéarisation) : exprimer un carré trigonométrique à l'aide de l'angle double :
$ \cos^{2}(a) = \dfrac{1 + \cos(2a)}{2} $ et $ \sin^{2}(a) = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2} $.
Simplifier une expression (sens direct)
Simplifier $ A = 4\sin(x)\cos(x)\cos(2x) $.
Étape 1 : on repère le produit $ \sin(x)\cos(x) $ et on applique $ 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) $ :
$ A = 4\sin(x)\cos(x)\cos(2x) = 2 \times 2\sin(x)\cos(x) \times \cos(2x) $
$ A = 2\sin(2x)\cos(2x) $
Étape 2 : on applique à nouveau la formule avec l'angle $ 2x $ :
$ 2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(2 \times 2x) = \sin(4x) $
Linéariser une expression (sens inverse)
Linéariser $ B = \cos^{2}(x) $.
On utilise la formule $ \cos(2a) = 2\cos^{2}(a) - 1 $ que l'on réarrange :
$ 2\cos^{2}(a) = 1 + \cos(2a) $
$ \cos^{2}(a) = \dfrac{1 + \cos(2a)}{2} $
En posant $ a = x $ :
Remarque
La linéarisation est très utile pour :
- calculer des primitives de $ \cos^{2}(x) $ ou $ \sin^{2}(x) $ (chapitre sur les primitives) ;
- étudier les variations d'une fonction contenant des carrés trigonométriques ;
- transformer une équation en $ \cos^{2}(x) $ ou $ \sin^{2}(x) $ en une équation trigonométrique simple.
Attention
Ne pas confondre les trois formes de $ \cos(2a) $ :
$ \cos^{2}(a) - \sin^{2}(a) $, $ 2\cos^{2}(a) - 1 $ et $ 1 - 2\sin^{2}(a) $.
Choisir la forme adaptée au contexte : si l'expression contient uniquement des cosinus, utiliser $ 2\cos^{2}(a) - 1 $ ; si elle contient uniquement des sinus, utiliser $ 1 - 2\sin^{2}(a) $.