Utiliser les formules d’addition de trigonométrie
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Créer un compteRappel des formules d'addition
Pour tous réels $ a $ et $ b $ :
- $ \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) $
- $ \cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) $
- $ \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) $
- $ \sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) $
Méthode
Pour calculer une valeur exacte ou simplifier une expression à l'aide des formules d'addition :
- Étape 1 : identifier l'expression comme une somme ou une différence d'angles dont les valeurs trigonométriques sont connues (angles remarquables).
- Étape 2 : appliquer la formule d'addition correspondante.
- Étape 3 : remplacer par les valeurs exactes et simplifier.
Calculer une valeur exacte
Calculer la valeur exacte de $ \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) $.
Étape 1 : on décompose l'angle en différence d'angles remarquables :
$ \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} $
car $ \dfrac{4\pi - 3\pi}{12} = \dfrac{\pi}{12} $.
Étape 2 : on applique la formule $ \cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) $ :
$ \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $
Étape 3 : on remplace par les valeurs exactes :
$ \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}}{4} $
Simplifier une expression
Simplifier l'expression $ \cos(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) $.
Étape 1 : on identifie la structure de la formule $ \cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) $ avec $ a = x $ et $ b = 2x $.
Étape 2 : on applique la formule :
$ \cos(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) = \cos(x - 2x) = \cos(-x) $
Étape 3 : on simplifie en utilisant la parité du cosinus :
$ \cos(-x) = \cos(x) $
Remarque
Les formules d'addition permettent de calculer les valeurs exactes d'angles non remarquables comme $ \dfrac{\pi}{12} $, $ \dfrac{5\pi}{12} $ ou $ \dfrac{7\pi}{12} $, en les décomposant en somme ou différence d'angles remarquables ($ \dfrac{\pi}{6} $, $ \dfrac{\pi}{4} $, $ \dfrac{\pi}{3} $).
Attention
Ne pas confondre les signes dans les formules :
pour $ \cos(a + b) $, le produit des sinus est soustrait (signe $ - $) ;
pour $ \cos(a - b) $, le produit des sinus est ajouté (signe $ + $).
C'est l'inverse de ce que l'on pourrait attendre intuitivement.