Utiliser un cas d’égalité dans une démonstration
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Les cas d'égalité permettent de démontrer des propriétés géométriques. La stratégie est la suivante :
- Identifier les deux triangles à comparer.
- Démontrer que ces triangles sont égaux en utilisant un cas d'égalité (CCC, CAC ou ACA).
- En déduire l'égalité de longueurs ou d'angles entre éléments correspondants des deux triangles.
- Utiliser cette égalité pour conclure la démonstration.
Remarque
La difficulté principale est de choisir les bons triangles. Il faut repérer dans la figure deux triangles qui contiennent à la fois les éléments connus (hypothèses) et l'élément à démontrer.
Exemples
Prouver une égalité de longueurs
$ABCD$ est un parallélogramme. Démontrer que $OA = OC$ et $OB = OD$, où $O$ est le point d'intersection des diagonales.
Étape 1 : On compare les triangles $AOD$ et $COB$.
Étape 2 : On cherche les éléments égaux :
- $AD = BC$ car les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur.
- $\widehat{OAD} = \widehat{OCB}$ : ce sont des angles alternes-internes formés par les parallèles $(AD)$ et $(BC)$ coupées par la sécante $(AC)$.
- $\widehat{ODA} = \widehat{OBC}$ : ce sont des angles alternes-internes formés par les parallèles $(AD)$ et $(BC)$ coupées par la sécante $(BD)$.
Étape 3 : Le côté $[AD]$ est compris entre les angles $\widehat{OAD}$ et $\widehat{ODA}$. D'après le cas ACA, les triangles $AOD$ et $COB$ sont égaux.
Étape 4 : Les triangles $AOD$ et $COB$ étant égaux, on en déduit :
$OA = OC$ et $OD = OB$.
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Prouver qu'une droite est perpendiculaire
Soit $[AB]$ un segment et $M$ un point équidistant de $A$ et de $B$ ($MA = MB$). Soit $I$ le milieu de $[AB]$.
Démontrer que la droite $(MI)$ est perpendiculaire à $(AB)$.
Étape 1 : On compare les triangles $MAI$ et $MBI$.
Étape 2 : On identifie les éléments égaux :
- $MA = MB$ (donné dans l'énoncé).
- $AI = BI$ car $I$ est le milieu de $[AB]$.
- $MI = MI$ (côté commun).
Étape 3 : Les trois côtés sont deux à deux de même longueur. D'après le cas CCC, les triangles $MAI$ et $MBI$ sont égaux.
Étape 4 : On en déduit que $\widehat{MIA} = \widehat{MIB}$.
Or $\widehat{MIA} + \widehat{MIB} = 180^{\circ}$ car $A$, $I$ et $B$ sont alignés.
Donc $2 \times \widehat{MIA} = 180^{\circ}$, soit $\widehat{MIA} = 90^{\circ}$.
La droite $(MI)$ est perpendiculaire à $(AB)$.
Attention
- Ne pas oublier de justifier chaque égalité de longueur ou d'angle (propriété du parallélogramme, milieu, hypothèse, angles alternes-internes, côté commun, etc.).
- Vérifier que la correspondance des sommets est correcte lorsqu'on déduit des égalités : les éléments correspondants doivent occuper la même position dans les deux triangles.