Ensembles de nombres - Intervalles - Valeurs absolues
Méthode
Union et intersection d’intervalles
20 minutes
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Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$.
- L'intersection de $I$ et $J$, notée $I \cap J$ (lire « $I$ inter $J$ »), est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $I$ et à $J$ en même temps.
- L'union (ou réunion) de $I$ et $J$, notée $I \cup J$ (lire « $I$ union $J$ »), est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $I$ ou à $J$ (ou aux deux).
Remarque
Retenir les mots clés :
- $\cap$ → « et » → ce qui est commun aux deux
- $\cup$ → « ou » → tout ce qui est colorié
La méthode visuelle en 3 étapes
Étape 1 : Tracer et colorier chaque intervalle
Sur une même droite graduée, colorier chaque intervalle d'une couleur différente.
- Intervalle $I$ en bleu.
- Intervalle $J$ en rouge.
Respecter les conventions : point plein (●) pour une borne incluse, cercle vide (○) pour une borne exclue.
Étape 2 : Lire l'intersection ($\cap$)
L'intersection est la zone où les deux couleurs se superposent.
- Si les deux intervalles ne se chevauchent pas, l'intersection est l'ensemble vide : $I \cap J = \varnothing$.
- Aux bornes de la zone commune : le crochet est fermé uniquement si la borne est incluse dans les deux intervalles.
Étape 3 : Lire l'union ($\cup$)
L'union est toute la zone coloriée (bleu, rouge ou les deux).
- Si les deux intervalles se chevauchent ou se touchent, l'union forme un seul intervalle.
- Si les deux intervalles sont séparés, l'union s'écrit avec le symbole $\cup$ entre les deux.
- Aux bornes extérieures : le crochet est fermé si la borne est incluse dans au moins un des deux intervalles.
Les cas types illustrés
Cas 1 : Intervalles qui se chevauchent
$I = [-1\,;\,4]$ et $J = [2\,;\,7]$
- Intersection : la zone commune va de $2$ à $4$, bornes incluses dans les deux → $I \cap J = [2\,;\,4]$.
- Union : tout ce qui est colorié va de $-1$ à $7$ → $I \cup J = [-1\,;\,7]$.
Cas 2 : Un intervalle contenu dans l'autre
$I = [-3\,;\,5]$ et $J = [0\,;\,2]$
- Intersection : $J$ est entièrement dans $I$, donc $I \cap J = J = [0\,;\,2]$.
- Union : $I$ contient déjà $J$, donc $I \cup J = I = [-3\,;\,5]$.
Règle utile
Quand un intervalle est inclus dans l'autre : l'intersection est le plus petit et l'union est le plus grand.
Cas 3 : Intervalles disjoints (séparés)
$I = [-4\,;\,-1[$ et $J = ]2\,;\,6]$
- Intersection : aucune zone commune → $I \cap J = \varnothing$ (ensemble vide).
- Union : les deux morceaux restent séparés → $I \cup J = [-4\,;\,-1[ \;\cup\; ]2\,;\,6]$.
Remarque
Quand deux intervalles sont disjoints, l'union n'est pas un intervalle : on ne peut pas l'écrire avec un seul crochet. On laisse le symbole $\cup$ entre les deux.
Cas 4 : Avec des intervalles non bornés
$I = ]-\infty\,;\,3]$ et $J = [1\,;\,+\infty[$
- Intersection : la zone commune va de $1$ (inclus dans $J$) à $3$ (inclus dans $I$) → $I \cap J = [1\,;\,3]$.
- Union : tout est couvert de $-\infty$ à $+\infty$ → $I \cup J = ]-\infty\,;\,+\infty[ = \mathbb{R}$.
Exemples résolus
Exemple 1
Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ avec $I = [-2\,;\,3[$ et $J = ]0\,;\,5]$.
![Droite graduée montrant I = [-2 ; 3[ et J = ]0 ; 5]](/assets/svg/union-intersection-intervalles-graph-bb-148.svg?v=1780824331)
- La zone commune va de $0$ (exclu : ouvert dans $J$) à $3$ (exclu : ouvert dans $I$).
- $\mathbf{I \cap J = ]0\,;\,3[}$
- Tout ce qui est colorié va de $-2$ (fermé dans $I$) à $5$ (fermé dans $J$).
- $\mathbf{I \cup J = [-2\,;\,5]}$
Exemple 2
Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ avec $I = ]-\infty\,;\,1[$ et $J = ]3\,;\,+\infty[$.
- Aucune zone commune → $\mathbf{I \cap J = \varnothing}$
- Les deux morceaux restent séparés → $\mathbf{I \cup J = ]-\infty\,;\,1[ \;\cup\; ]3\,;\,+\infty[}$
Exemple 3
Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ avec $I = [-5\,;\,2]$ et $J = [2\,;\,9]$.
- Le seul point commun est $2$ (inclus dans les deux) → $\mathbf{I \cap J = \{2\}}$
- Les deux intervalles se « collent » en $2$ → $\mathbf{I \cup J = [-5\,;\,9]}$
Attention aux bornes !
Quand une borne est ouverte dans un intervalle et fermée dans l'autre :
- Pour l'intersection ($\cap$) : on prend le plus restrictif → la borne est ouverte (il faut être dans les deux).
- Pour l'union ($\cup$) : on prend le plus permissif → la borne est fermée (il suffit d'être dans un seul).
Exemple : si $I = [-1\,;\,3]$ et $J = ]3\,;\,7[$, alors $3 \in I$ mais $3 \notin J$.
- $I \cap J = \varnothing$ (aucun point commun : $I$ s'arrête à 3 inclus, $J$ commence juste après 3).
- $I \cup J = [-1\,;\,7[$ (le point 3 est couvert par $I$, donc la borne est fermée).
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Consulter la fiche méthode : Passer des inégalités aux intervalles