Intervalles et inégalités

1. 1. $ x \geqslant -3 $ se traduit par l'intervalle $\mathbf{\left[ -3~;~+\infty \right[}$.
   2. $ -1 < x \leqslant 4 $ se traduit par l'intervalle $\mathbf{\left] -1~;~4 \right]}$.
   3. $ x < 7 $ se traduit par l'intervalle $\mathbf{\left] -\infty~;~7 \right[}$.
   4. $ 2 \leqslant x \leqslant 5 $ se traduit par l'intervalle $\mathbf{\left[ 2~;~5 \right]}$.

2. Les représentations sur la droite graduée :

   • Pour $ \left[ -3~;~+\infty \right[ $ : crochet fermé en $ -3 $, crochet ouvert en $ +\infty $.
   • Pour $ \left] -1~;~4 \right] $ : crochet ouvert en $ -1 $, crochet fermé en $ 4 $.
   • Pour $ \left] -\infty~;~7 \right[ $ : crochet ouvert en $ -\infty $, crochet ouvert en $ 7 $.
   • Pour $ \left[ 2~;~5 \right] $ : crochets fermés en $ 2 $ et en $ 5 $.
3. 1. L'intersection $ I \cap J $ est l'ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à $ \left[ -1~;~4 \right] $ et à $ \left[ 2~;~7 \right[ $. Les nombres doivent vérifier $ x \geqslant 2 $ et $ x \leqslant 4 $, donc :
      $\mathbf{I \cap J = \left[ 2~;~4 \right]}$
   2. La réunion $ I \cup J $ est l'ensemble des nombres qui appartiennent à au moins l'un des deux intervalles. Elle regroupe tous les nombres de $ -1 $ à $ 7 $, donc :
      $\mathbf{I \cup J = \left[ -1~;~7 \right[}$
4. 1. L'intersection $ A \cap B $ est l'ensemble des nombres qui vérifient $ x \leqslant 3 $ et $ x > 1 $ simultanément, donc :
      $\mathbf{A \cap B = \left] 1~;~3 \right]}$
   2. La réunion $ A \cup B $ regroupe les nombres qui vérifient $ x \leqslant 3 $ ou $ x > 1 $. Comme tout nombre réel vérifie l'une de ces deux conditions :
      $\mathbf{A \cup B = \mathbb{R}}$

→ Pour réviser : Union et intersection d'intervalles