Simplifier une expression avec les propriétés de ln
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Pour simplifier une expression contenant des logarithmes népériens, on utilise les propriétés algébriques suivantes (avec $ a > 0 $, $ b > 0 $ et $ n \in \mathbb{Z} $) :
- $ \ln(ab) = \ln a + \ln b $
- $ \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b $
- $ \ln(a^{n}) = n\ln a $
- $ \ln\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\ln a $
- $ \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a $
En pratique : on décompose l'expression en appliquant ces règles, puis on regroupe les termes.
Attention
Ne pas confondre $ \ln(a + b) $ et $ \ln(a) + \ln(b) $ : il n'existe aucune formule pour $ \ln(a + b) $.
De même, $ \ln(a - b) \neq \ln(a) - \ln(b) $.
Exemple
Écrire $ \ln(12) $ en fonction de $ \ln 2 $ et $ \ln 3 $.
On décompose $ 12 $ en produit de facteurs premiers :
$ 12 = 2^{2} \times 3 $
On applique les propriétés :
$ \ln(12) = \ln(2^{2} \times 3) $
$ \ln(12) = \ln(2^{2}) + \ln(3) $
$ \ln(12) = 2\ln(2) + \ln(3) $
Exemple
Simplifier $ A = \ln(50) - \ln(2) + \ln(8) $.
On regroupe à l'aide des propriétés du logarithme :
$ A = \ln\left(\dfrac{50}{2}\right) + \ln(8) $
$ A = \ln(25) + \ln(8) $
$ A = \ln(25 \times 8) $
$ A = \ln(200) $
On peut poursuivre la simplification :
$ A = \ln(8 \times 25) = \ln(2^{3} \times 5^{2}) = 3\ln(2) + 2\ln(5) $
Exemple
Simplifier $ B = 3\ln(2) - \dfrac{1}{2}\ln(16) + \ln(5) $.
On transforme chaque terme en un seul logarithme :
$ B = \ln(2^{3}) - \ln\left(16^{1/2}\right) + \ln(5) $
$ B = \ln(8) - \ln(4) + \ln(5) $
$ B = \ln\left(\dfrac{8}{4}\right) + \ln(5) $
$ B = \ln(2) + \ln(5) $
$ B = \ln(2 \times 5) $
$ B = \ln(10) $