Résoudre une inéquation avec ln
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- Déterminer le domaine de validité : les arguments de chaque logarithme doivent être strictement positifs.
- Se ramener à $ \ln(A) \leqslant \ln(B) $ : utiliser les propriétés algébriques pour regrouper.
- Utiliser la stricte croissance de $ \ln $ : $ \ln(A) \leqslant \ln(B) \Leftrightarrow A \leqslant B $ (pour $ A > 0 $ et $ B > 0 $).
- Résoudre l'inéquation obtenue et intersecter avec le domaine de validité.
Attention : ne pas oublier que $ \ln(x) < 0 $ pour $ 0 < x < 1 $ et $ \ln(x) > 0 $ pour $ x > 1 $.
Exemple
Résoudre $ \ln(2x + 1) \leqslant \ln(x + 4) $.
Domaine de validité : il faut $ 2x + 1 > 0 $ et $ x + 4 > 0 $, c'est-à-dire $ x > -\dfrac{1}{2} $.
La fonction $ \ln $ est strictement croissante, donc :
$ \ln(2x + 1) \leqslant \ln(x + 4) \Leftrightarrow 2x + 1 \leqslant x + 4 $
$ x \leqslant 3 $
En intersectant avec le domaine $ x > -\dfrac{1}{2} $, l'ensemble des solutions est $ \left]-\dfrac{1}{2}\,;\,3\right] $.
Exemple
Résoudre $ \ln(x) \geqslant 2 $.
Domaine de validité : il faut $ x > 0 $.
On écrit $ 2 = \ln(e^{2}) $, donc l'inéquation devient :
$ \ln(x) \geqslant \ln(e^{2}) $
Par croissance de $ \ln $ :
$ x \geqslant e^{2} $
Cette condition est bien incluse dans le domaine $ x > 0 $.
L'ensemble des solutions est $ \left[e^{2}\,;\,+\infty\right[ $.
Exemple
Résoudre $ \ln(x^{2} - 1) < 0 $.
Domaine de validité : il faut $ x^{2} - 1 > 0 $, c'est-à-dire $ x < -1 $ ou $ x > 1 $.
On écrit $ 0 = \ln(1) $, donc l'inéquation devient :
$ \ln(x^{2} - 1) < \ln(1) $
Par croissance de $ \ln $ :
$ x^{2} - 1 < 1 $
$ x^{2} < 2 $
$ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} $
En intersectant avec le domaine $ x < -1 $ ou $ x > 1 $ :
L'ensemble des solutions est $ \left]-\sqrt{2}\,;\,-1\right[ \cup \left]1\,;\,\sqrt{2}\right[ $.
Remarque
L'intersection avec le domaine de validité est une étape essentielle. Sans elle, on risque de conserver des valeurs de $ x $ pour lesquelles le logarithme n'est pas défini.