Multiplier et diviser des fractions
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1 - Multiplier deux fractions
Méthode
Pour multiplier deux fractions :
- Simplifier si possible avant de multiplier (simplification croisée : un numérateur avec un dénominateur de l'autre fraction).
- Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Multiplication simple
Calculer $ A = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{5}{4} $.
Les numérateurs et dénominateurs n'ont pas de facteur commun, on multiplie directement :
$ A = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 4} = \dfrac{15}{28} $
Avec simplification croisée
Calculer $ B = \dfrac{8}{15} \times \dfrac{5}{6} $.
Avant de multiplier, on simplifie : $ 5 $ (numérateur) et $ 15 $ (dénominateur) sont divisibles par $ 5 $.
$ B = \dfrac{8}{15} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{8}{{\color{red} 3}} \times \dfrac{{\color{red} 1}}{6} $
On peut encore simplifier : $ 8 $ et $ 6 $ sont divisibles par $ 2 $.
$ B = \dfrac{{\color{red} 4}}{3} \times \dfrac{1}{{\color{red} 3}} = \dfrac{4}{9} $
Avec des signes négatifs
Calculer $ C = \dfrac{-3}{5} \times \dfrac{10}{9} $.
On simplifie : $ 3 $ et $ 9 $ sont divisibles par $ 3 $ ; $ 10 $ et $ 5 $ sont divisibles par $ 5 $.
$ C = \dfrac{-3}{5} \times \dfrac{10}{9} = \dfrac{-{\color{red} 1}}{{\color{red} 1}} \times \dfrac{{\color{red} 2}}{{\color{red} 3}} = \dfrac{-2}{3} $
2 - Diviser par une fraction
Méthode
Pour diviser par une fraction :
- Remplacer la division par une multiplication par l'inverse de la deuxième fraction (on « retourne » la fraction).
- Effectuer la multiplication obtenue (en simplifiant si possible).
Inverse d'une fraction
L'inverse de $ \dfrac{a}{b} $ (avec $ a \neq 0 $) est $ \dfrac{b}{a} $.
On a : $ \dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = 1 $.
Division de fractions
Calculer $ D = \dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{2} $.
Étape 1 : On remplace la division par une multiplication par l'inverse :
$ D = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} $
Étape 2 : On simplifie puis on multiplie. $ 3 $ et $ 9 $ sont divisibles par $ 3 $ ; $ 2 $ et $ 4 $ sont divisibles par $ 2 $.
$ D = \dfrac{{\color{red} 1}}{{\color{red} 2}} \times \dfrac{{\color{red} 1}}{{\color{red} 3}} = \dfrac{1}{6} $
Attention
- On ne divise jamais numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur. Il faut d'abord transformer la division en multiplication par l'inverse.
- Attention au signe : le produit de deux fractions de même signe est positif, le produit de deux fractions de signes contraires est négatif.
- La simplification croisée ne fonctionne qu'avec des produits, jamais avec des sommes ou des différences. Par exemple, dans $ \dfrac{3 + 6}{6} $, on ne peut pas simplifier le $ 6 $ du numérateur avec le $ 6 $ du dénominateur, car le numérateur est une somme (et non un produit). Le calcul correct est : $ \dfrac{3 + 6}{6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} $. L'erreur donnerait $ \dfrac{3 + 1}{1} = 4 $, ce qui est faux.