Multiplier et diviser des fractions (avec relatifs)
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Créer un compte1 - Multiplier deux fractions
Méthode
Pour multiplier deux fractions :
- Déterminer le signe du résultat en comptant les facteurs négatifs (règle des signes).
- Simplifier avant de multiplier lorsque c'est possible (simplification croisée : un numérateur avec un dénominateur de l'autre fraction).
- Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Produit sans signe négatif
Calculer $ A = \dfrac{4}{15} \times \dfrac{5}{8} $.
Étape 1 : Aucun facteur négatif, le résultat est positif.
Étape 2 : On simplifie : $ 4 $ et $ 8 $ sont divisibles par $ 4 $ ; $ 5 $ et $ 15 $ par $ 5 $.
$ A = \dfrac{{\color{red} 1}}{{\color{red} 3}} \times \dfrac{{\color{red} 1}}{{\color{red} 2}} $
Étape 3 : On multiplie :
$ A = \dfrac{1 \times 1}{3 \times 2} = \dfrac{1}{6} $
Produit avec signes contraires
Calculer $ B = \dfrac{-7}{9} \times \dfrac{6}{14} $.
Étape 1 : Un seul facteur est négatif, le résultat est négatif.
Étape 2 : On simplifie : $ 7 $ et $ 14 $ sont divisibles par $ 7 $ ; $ 6 $ et $ 9 $ par $ 3 $.
$ B = \dfrac{-{\color{red} 1}}{{\color{red} 3}} \times \dfrac{{\color{red} 2}}{{\color{red} 2}} $
Étape 3 : On multiplie :
$ B = \dfrac{-1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{-2}{6} = \dfrac{-1}{3} $
Produit de trois fractions négatives
Calculer $ C = \dfrac{-3}{4} \times \dfrac{-2}{5} \times \dfrac{-10}{9} $.
Étape 1 : $ 3 $ facteurs négatifs (nombre impair) : le résultat est négatif.
Étape 2 : On simplifie : $ 10 $ et $ 5 $ par $ 5 $ ; $ 3 $ et $ 9 $ par $ 3 $ ; $ 2 $ et $ 4 $ par $ 2 $.
$ C = -\dfrac{{\color{red} 1}}{{\color{red} 2}} \times \dfrac{{\color{red} 1}}{{\color{red} 1}} \times \dfrac{{\color{red} 2}}{{\color{red} 3}} $
Étape 3 : On multiplie :
$ C = -\dfrac{1 \times 1 \times 2}{2 \times 1 \times 3} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3} $
2 - Diviser par une fraction
Méthode
Pour diviser par une fraction non nulle :
- Remplacer la division par une multiplication par l'inverse de la deuxième fraction.
- Effectuer la multiplication obtenue (avec la règle des signes et les simplifications).
Division de deux fractions
Calculer $ D = \dfrac{5}{12} \div \dfrac{-15}{8} $.
Étape 1 : On remplace la division par une multiplication par l'inverse :
$ D = \dfrac{5}{12} \times \dfrac{8}{-15} = \dfrac{5}{12} \times \dfrac{-8}{15} $
Étape 2 : Un seul facteur négatif : le résultat est négatif. On simplifie : $ 5 $ et $ 15 $ par $ 5 $ ; $ 8 $ et $ 12 $ par $ 4 $.
$ D = \dfrac{{\color{red} 1}}{{\color{red} 3}} \times \dfrac{-{\color{red} 2}}{{\color{red} 3}} $
Étape 3 : On multiplie :
$ D = \dfrac{1 \times (-2)}{3 \times 3} = \dfrac{-2}{9} $
Attention
- La simplification croisée ne fonctionne qu'avec des produits, jamais avec des sommes. Dans $ \dfrac{3 + 6}{6} $, on ne peut pas simplifier le $ 6 $ du numérateur avec celui du dénominateur, car le numérateur est une somme. Le calcul correct est $ \dfrac{3 + 6}{6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} $.
- Pour diviser, on ne divise pas numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur. Il faut transformer la division en multiplication par l'inverse.