Inverse d’un nombre et calculs sur les rationnels

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Recopier et compléter le tableau suivant.

Nombre Opposé Inverse

$ 4 $

$ -\dfrac{2}{3} $

$ \dfrac{-5}{7} $

$ -1 $
Vérifier, sans poser le calcul complet, que $ \dfrac{-3}{8} $ et $ \dfrac{-8}{3} $ sont inverses l'un de l'autre.
Calculer chacune des expressions suivantes.
1. $ A = \dfrac{-5}{6} + \dfrac{7}{4} $
2. $ B = \dfrac{-3}{10} \times \dfrac{-5}{9} $
3. $ C = \dfrac{4}{7} \div \dfrac{-2}{21} $

Corrigé

L'opposé s'obtient en changeant le signe ; l'inverse s'obtient en échangeant numérateur et dénominateur (en conservant le signe).

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit vaut $ 1 $. On calcule :

$ \dfrac{-3}{8} \times \dfrac{-8}{3} = \dfrac{(-3) \times (-8)}{8 \times 3} = \dfrac{24}{24} = 1 $

Le produit vaut bien $ 1 $, donc $ \dfrac{-3}{8} $ et $ \dfrac{-8}{3} $ sont inverses l'un de l'autre.
1. Dénominateur commun de $ 6 $ et $ 4 $ : $ 12 $.
  
  $ A = \dfrac{-5 \times 2}{6 \times 2} + \dfrac{7 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{-10}{12} + \dfrac{21}{12} = \dfrac{11}{12} $
  
  D'où $ A $ = $\mathbf{\dfrac{11}{12}}$.
2. Le produit est positif (signes identiques). On simplifie : $ 3 $ et $ 9 $ par $ 3 $ ; $ 5 $ et $ 10 $ par $ 5 $.
  
  $ B = \dfrac{-3}{10} \times \dfrac{-5}{9} = \dfrac{-1}{2} \times \dfrac{-1}{3} = \dfrac{1}{6} $
  
  D'où $ B $ = $\mathbf{\dfrac{1}{6}}$.
3. Diviser revient à multiplier par l'inverse :
  
  $ C = \dfrac{4}{7} \div \dfrac{-2}{21} = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{21}{-2} = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{-21}{2} $
  
  Le produit est négatif. On simplifie : $ 4 $ et $ 2 $ par $ 2 $ ; $ 21 $ et $ 7 $ par $ 7 $.
  
  $ C = \dfrac{2}{1} \times \dfrac{-3}{1} = -6 $
  
  D'où $ C $ = $\mathbf{-6}$.