Mettre un problème en équation ou en inéquation
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Pour résoudre un problème à l'aide d'une équation ou d'une inéquation :
- Choix de l'inconnue : identifier la grandeur cherchée et la noter $ x $. Préciser ce que $ x $ représente et son unité.
- Mise en équation (ou en inéquation) : traduire les données du problème en une égalité ou une inégalité faisant intervenir $ x $.
- Résolution : résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue.
- Conclusion : interpréter le résultat dans le contexte du problème et répondre par une phrase.
Équation ou inéquation ?
Le choix dépend de la question posée :
- Si on cherche une valeur précise (« Quel est le nombre... », « Au bout de combien de temps... ») : c'est une équation.
- Si on cherche un ensemble de valeurs (« À partir de combien... », « Pour quelles valeurs... », « Quel est le maximum... ») : c'est une inéquation.
Mise en équation
Énoncé : Un rectangle a un périmètre de $ 42 $ cm. Sa longueur dépasse sa largeur de $ 5 $ cm. Déterminer les dimensions de ce rectangle.
Étape 1 : On note $ x $ la largeur du rectangle (en cm). La longueur vaut alors $ x + 5 $.
Étape 2 : Le périmètre d'un rectangle vaut $ 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) $, donc :
Étape 3 : On résout :
$2(2x + 5) = 42$
$4x + 10 = 42$
$4x = 32$
$x = 8$
Étape 4 : La largeur vaut $ 8 $ cm et la longueur vaut $ 8 + 5 = $ $ 13 $ cm.
Vérification : $ 2 \times (8 + 13) = 2 \times 21 = 42 $ cm.
Mise en inéquation
Énoncé : Un artisan vend ses créations $ 12 $ euros pièce. Ses charges fixes sont de $ 200 $ euros par mois et chaque pièce lui coûte $ 5 $ euros à fabriquer. À partir de combien de pièces vendues par mois le travail de l'artisan est-il rentable ?
Étape 1 : On note $ x $ le nombre de pièces vendues par mois.
Étape 2 : L'artisan est rentable quand ses recettes dépassent ses dépenses :
- Recettes : $ 12x $ euros
- Dépenses : $ 200 + 5x $ euros
On cherche quand les recettes sont supérieures aux dépenses :
Étape 3 : On résout :
$12x - 5x > 200$
$7x > 200$
$ x > \dfrac{200}{7} \approx 28{,}6 $
Étape 4 : Comme $ x $ est un nombre entier de pièces, le travail de l'artisan est rentable à partir de 29 pièces vendues par mois.
Attention
Bien penser à vérifier que la solution obtenue a du sens dans le contexte du problème :
- Un nombre de personnes, d'objets ou d'années doit être un entier positif.
- Une longueur ou une durée doit être positive.
Si la solution mathématique ne vérifie pas ces contraintes, l'adapter au contexte (arrondir à l'entier supérieur, éliminer les valeurs négatives, etc.).