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Équations et inéquations Exercices

Problèmes : mise en équation et en inéquation

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

  1. Un père a $ 42 $ ans et sa fille a $ 12 $ ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le triple de l'âge de sa fille ?
  2. Un terrain rectangulaire a un périmètre de $ 54 $ m. Sa longueur dépasse sa largeur de $ 7 $ m. Déterminer les dimensions de ce terrain.

  3. On considère deux programmes de calcul :

    • Programme A : Choisir un nombre, le multiplier par $ 5 $, puis retrancher $ 8 $.
    • Programme B : Choisir un nombre, le multiplier par $ 3 $, puis ajouter $ 6 $.
    1. Pour quel nombre de départ les deux programmes donnent-ils le même résultat ?
    2. Pour quels nombres de départ le résultat du programme A est-il supérieur à celui du programme B ?

Corrigé

  1. On note $ x $ le nombre d'années cherché.

    Dans $ x $ années, le père aura $ 42 + x $ ans et la fille $ 12 + x $ ans. On veut que l'âge du père soit le triple de l'âge de la fille :

    $ 42 + x = 3(12 + x) $

    On développe et on résout :
    $42 + x = 36 + 3x$
    $42 - 36 = 3x - x$
    $6 = 2x$
    $x = 3$

    L'âge du père sera le triple de celui de sa fille dans $ 3 $ ans.

    Vérification : dans 3 ans, le père aura $ 42 + 3 = 45 $ ans et la fille $ 12 + 3 = 15 $ ans. On a bien $ 45 = 3 \times 15 $.

  2. On note $ x $ la largeur du terrain (en mètres). La longueur vaut $ x + 7 $.

    Le périmètre d'un rectangle vaut $ 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) $, donc :

    $ 2(x + x + 7) = 54 $

    On résout :
    $2(2x + 7) = 54$
    $4x + 14 = 54$
    $4x = 40$
    $x = 10$

    La largeur vaut $ 10 $ m et la longueur vaut $ 10 + 7 = $ $ 17 $ m.

    Vérification : $ 2 \times (10 + 17) = 2 \times 27 = 54 $ m.

  3. On note $ x $ le nombre de départ choisi.

    Le programme A donne $ 5x - 8 $ et le programme B donne $ 3x + 6 $.

    1. On cherche quand les deux résultats sont égaux :

      $ 5x - 8 = 3x + 6 $

      On résout :
      $5x - 3x = 6 + 8$
      $2x = 14$
      $x = 7$

      Les deux programmes donnent le même résultat pour le nombre de départ $\mathbf{7}$.

      Vérification : Programme A : $ 5 \times 7 - 8 = 27 $. Programme B : $ 3 \times 7 + 6 = 27 $.

    2. On cherche quand le résultat de A est supérieur à celui de B :

      $ 5x - 8 > 3x + 6 $

      On résout :
      $5x - 3x > 6 + 8$
      $2x > 14$
      $x > 7$

      Le résultat du programme A est supérieur à celui du programme B pour tout nombre de départ strictement supérieur à $ 7 $.

Pour réviser : Mettre un problème en équation ou en inéquation