Calculer la limite d’une fonction composée
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Pour calculer la limite de $ g\left(f\left(x\right)\right) $ quand $ x $ tend vers $ a $ :
- Étape 1 : on pose $ X=f\left(x\right) $ et on calcule $ \lim\limits_{x\rightarrow a}X=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b $
- Étape 2 : on calcule $ \lim\limits_{X\rightarrow b}g\left(X\right)=c $
- Conclusion : par composition, $ \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=c $
Remarque
On reconnaît une fonction composée lorsqu'une fonction « extérieure » ($ \text{e}^{\cdot} $, $ \sqrt{\cdot} $, $ \ln $, etc.) est appliquée à une expression en $ x $.
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{-x^{2}} $.
On pose $ X=-x^{2} $.
Étape 1 : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(-x^{2}\right)=-\infty $
Étape 2 : $ \lim\limits_{X\rightarrow -\infty }\text{e}^{X}=0 $
Conclusion : par composition, $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{-x^{2}}=0 $.
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x^{2}+3x} $.
On pose $ X=x^{2}+3x $.
Étape 1 : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(x^{2}+3x\right)=+\infty $
(pas de forme indéterminée : somme de deux limites $ +\infty $)
Étape 2 : $ \lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\sqrt{X}=+\infty $
Conclusion : par composition, $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x^{2}+3x}=+\infty $.
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\text{e}^{1/x} $.
On pose $ X=\dfrac{1}{x} $.
Étape 1 : $ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}X=\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{1}{x}=+\infty $
Étape 2 : $ \lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\text{e}^{X}=+\infty $
Conclusion : par composition, $ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\text{e}^{1/x}=+\infty $.