Ensembles de nombres - Intervalles - Valeurs absolues
Méthode
Passer des inégalités aux intervalles
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Passer du langage des inégalités (ex : $x \geqslant 3$) au langage des ensembles (ex : $x \in [3 ; +\infty[$).
C'est une compétence fondamentale pour donner les solutions d'une inéquation ou définir un domaine de définition.
Les 3 concepts clés à maîtriser
Avant de commencer, il faut comprendre le « code » des symboles. Tout est une histoire de frontières : est-ce que je garde la frontière ou est-ce que je l'exclus ?
1. Le sens du crochet (La règle des "mains")
Imaginez que les crochets sont des mains.
- Inégalité large ($\leqslant$ ou $\geqslant$) : Le nombre est accepté. La main (le crochet) « tient » le nombre.
- Visuel : $[a$ ou $a]$ : les crochets sont tournés vers l'intérieur de l'intervalle (vers les nombres coloriés).
- Inégalité stricte ($<$ ou $>$) : Le nombre est refusé. La main (le crochet) « repousse » le nombre.
- Visuel : $]a$ ou $a[$ : les crochets sont tournés vers l'extérieur (ils tournent le dos à l'intervalle).
2. L'infini n'est pas un nombre
L'infini ($\infty$) est une direction, pas un point d'arrêt. On ne peut jamais « attraper » l'infini.
- Règle absolue : Du côté de l'infini ($-\infty$ ou $+\infty$), le crochet est TOUJOURS ouvert.
- $]-\infty ; ...$
- $... ; +\infty[$
3. L'ordre de lecture
Un intervalle se lit toujours comme une phrase, de la gauche vers la droite sur la droite graduée.
- On écrit toujours : [Petit nombre ; Grand nombre].
- Erreur à ne jamais faire : $[5 ; 2]$ (Faux !). On écrit $[2 ; 5]$.
La méthode en 3 étapes (L'approche visuelle)
Pour ne jamais vous tromper, surtout au début, passez par le dessin. Ne tentez pas de le faire de tête si vous hésitez.
Étape 1 : Dessiner la droite graduée
Tracez une ligne horizontale. Placez le ou les nombres mentionnés dans l'inégalité.
- Note : l'échelle n'a pas besoin d'être précise. L'important est l'ordre des nombres.
- Placez $-\infty$ tout à gauche et $+\infty$ tout à droite.
Étape 2 : Colorier la zone voulue
Lisez l'inégalité pour savoir où se trouvent les $x$.
- Si $x > a$ : $x$ est plus grand, donc à droite de $a$. Coloriez tout ce qui est à droite.
- Si $x < a$ : $x$ est plus petit, donc à gauche de $a$. Coloriez tout ce qui est à gauche.
- Si $a < x < b$ : $x$ est coincé entre les deux. Coloriez la zone centrale.
Étape 3 : Placer les crochets et écrire
Regardez les bornes de votre coloriage.
- Aux extrémités de la zone coloriée, dessinez les crochets en suivant la règle des « mains » (inégalité large ou stricte).
- Recopiez simplement ce que vous voyez de gauche à droite pour former l'intervalle.
Les 4 cas types (Tableau de référence)
Voici les situations que vous rencontrerez dans 99% des exercices.
Cas A : L'intervalle « borné » (L'encadrement)
C'est quand $x$ est coincé entre deux nombres réels $a$ et $b$.
| Inégalité | Intervalle | Commentaire |
| $2 \leqslant x \leqslant 5$ | $x \in [2 ; 5]$ | Fermé des deux côtés (tout est compris). |
| $2 < x < 5$ | $x \in ]2 ; 5[$ | Ouvert des deux côtés (2 et 5 exclus). |
| $2 \leqslant x < 5$ | $x \in [2 ; 5[$ | Fermé en 2, ouvert en 5 (mixte). |
Cas B : La borne supérieure ("Plus petit que...")
C'est quand $x$ est inférieur à un nombre. On part donc de $-\infty$ jusqu'au nombre.
| Inégalité | Intervalle | Commentaire |
| $x \leqslant 10$ | $x \in ]-\infty ; 10]$ | On s'arrête à 10, crochet fermé (le 10 est pris). |
| $x < 10$ | $x \in ]-\infty ; 10[$ | On s'arrête à 10, crochet ouvert (le 10 est exclu). |
Cas C : La borne inférieure ("Plus grand que...")
C'est quand $x$ est supérieur à un nombre. On part du nombre et on va vers $+\infty$.
| Inégalité | Intervalle | Commentaire |
| $x \geqslant -3$ | $x \in [-3 ; +\infty[$ | On démarre à -3 inclus, on file vers l'infini. |
| $x > -3$ | $x \in ]-3 ; +\infty[$ | On démarre juste après -3, on file vers l'infini. |
Cas D : Tout l'ensemble des réels
Si $x$ peut être n'importe quel nombre réel sans restriction.
- Écriture : $-\infty < x < +\infty$ (rarement écrit ainsi).
- Intervalle : $x \in ]-\infty ; +\infty[$, ce qui correspond à $\mathbb{R}$.
Conseils du prof pour éviter les pièges
- Attention au sens de lecture de l'inégalité
L'inégalité $3 \leqslant x$ est exactement la même que $x \geqslant 3$. - Si le $x$ est à droite ($3 \leqslant x$), les élèves se trompent souvent de sens.
- Conseil : réécrivez toujours l'inégalité avec le $x$ à gauche avant de trouver l'intervalle.
- $3 \leqslant x \iff x \geqslant 3 \iff [3 ; +\infty[$.
- Ne confondez pas le signe du nombre et le sens de l'infini
- $x \leqslant -5$ : on va vers les nombres encore plus petits, donc vers $-\infty$.
D'où $]-\infty ; -5]$ - $x \geqslant -5$ : on va vers les nombres plus grands (même s'ils sont négatifs au début), donc vers $+\infty$.
D'où $[-5 ; +\infty[$ - Le crochet de l'infini
Moyen mnémotechnique : l'infini est « dangereux » ou « trop grand », le crochet a peur de le toucher, donc il se tourne vers l'autre côté.
Exemples résolus et commentés
Traduisez mentalement ces inégalités en intervalles.
Exemple 1 : $x > 12$
- Réponse : $]12 ; +\infty[$.
- Explication : crochet ouvert en 12 car inégalité stricte.
Exemple 2 : $-4 < x \leqslant 0$
- Réponse : $]-4 ; 0]$.
- Explication : ouvert en -4, fermé en 0.
Exemple 3 : $x \leqslant \sqrt{2}$
- Réponse : $]-\infty ; \sqrt{2}]$.
- Explication : on vient de l'infini négatif, on s'arrête à racine de 2 inclus.
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