Factoriser un trinôme du second degré
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Pour factoriser le trinôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ :
- Étape 1 : Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$
Étape 2 : Selon le signe de $\Delta$ :
- si $\Delta > 0$, $P$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ et : $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$
- si $\Delta = 0$, $P$ admet une racine double $x_0$ et : $P(x) = a(x - x_0)^2$
- si $\Delta < 0$, $P$ ne se factorise pas avec des coefficients réels
Factorisation avec Δ > 0
Factoriser $P(x) = x^2 - 5x + 6$.
Étape 1 : On a $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$ donc :
$\Delta > 0$, on cherche les deux racines :
Étape 2 : On écrit la factorisation avec $a = 1$ :
Factorisation avec Δ = 0
Factoriser $g(x) = -2x^2 + 4x - 2$.
Étape 1 : $a = -2$, $b = 4$, $c = -2$ donc :
La racine double est :
Étape 2 : On écrit la factorisation en n'oubliant pas le facteur $a = -2$ :
Remarque
Si on connaît déjà une racine évidente $x_1$ du trinôme, la seconde s'obtient avec la propriété produit des racines : $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Attention
Ne pas oublier le facteur $a$ devant la factorisation. Pour $-2x^2 + 4x - 2$ avec $a = -2$, écrire $-2(x - 1)^2$ et non $(x - 1)^2$ : ces deux expressions ne sont pas égales.