Étudier la continuité d’une fonction par morceaux
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Méthode (étudier la continuité d'une fonction par morceaux)
Pour étudier la continuité d'une fonction $ f $ définie par morceaux sur un intervalle :
- Vérifier que $ f $ est continue sur chacun des morceaux (fonctions usuelles : polynômes, rationnelles, racine carrée, trigonométriques…).
- Aux points de raccord $ x_0 $, calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x) $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow x_0^{+}}f(x) $.
- Si les deux limites sont égales à $ f(x_0) $, la fonction est continue en $ x_0 $.
Remarque
Si l'une des limites n'existe pas ou si les deux limites ne sont pas égales à $ f(x_0) $, la fonction n'est pas continue en $ x_0 $.
Exemple 1 — Fonction continue
Exemple
Soit $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 2 \\ 3x - 1 & \text{si } x \geqslant 2 \end{cases} $
Étape 1 : Sur $ ]-\infty ; 2[ $, $ f(x) = x^2 + 1 $ est un polynôme, donc continue.
Sur $ [2 ; +\infty[ $, $ f(x) = 3x - 1 $ est un polynôme, donc continue.
Étape 2 : On étudie le raccord en $ x_0 = 2 $ :
$ \lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f(x) = 2^2 + 1 = 5 $
$ \lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f(x) = 3 \times 2 - 1 = 5 $
$ f(2) = 3 \times 2 - 1 = 5 $
Étape 3 : Les deux limites sont égales à $ f(2) = 5 $, donc $ f $ est continue en $ 2 $.
Conclusion : $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $.
Exemple 2 — Fonction discontinue
Exemple
Soit $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ g(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 2 & \text{si } x \geqslant 1 \end{cases} $
Sur chaque morceau, $ g $ est un polynôme, donc continue.
On étudie le raccord en $ x_0 = 1 $ :
$ \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}g(x) = 2 \times 1 + 3 = 5 $
$ \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}g(x) = 1^2 + 2 = 3 $
Comme $ \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}g(x) \neq \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}g(x) $, la fonction $ g $ n'est pas continue en $ 1 $.