QCM : Continuité d’une fonction
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Ce QCM porte sur la continuité d'une fonction : reconnaître les fonctions continues sur un intervalle, lien entre continuité et dérivabilité, étude aux points de raccord. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3x + 1$ est continue sur :
- (Incorrect) $\mathbb{R}^+$ seulement
- (Correct) $\mathbb{R}$
- (Incorrect) $\mathbb{R} \setminus \{0\}$
- (Incorrect) $\left]0\,;\,+\infty\right[$ seulement
Question 2 : La fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ est continue :
- (Incorrect) sur $\mathbb{R}$
- (Incorrect) sur $\mathbb{R}^*$
- (Correct) sur $\left]-\infty\,;\,2\right[$ et sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$
- (Incorrect) sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$
Question 3 : Parmi les fonctions suivantes, laquelle n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ ?
- (Incorrect) $x \mapsto \sin(x)$
- (Incorrect) $x \mapsto x^3 - 5x$
- (Correct) $x \mapsto \dfrac{x + 1}{x - 3}$
- (Incorrect) $x \mapsto e^x + 2$
Question 4 : Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. On peut alors affirmer que $f$ est :
- (Incorrect) pas forcément continue sur $I$
- (Incorrect) continue uniquement aux extrémités de $I$
- (Correct) continue sur $I$
- (Incorrect) discontinue en au moins un point
Question 5 : Concernant la réciproque « toute fonction continue est dérivable », on peut affirmer qu'elle est :
- (Incorrect) vraie
- (Incorrect) vraie pour les polynômes seulement
- (Correct) fausse
- (Incorrect) vraie sur tout intervalle ouvert
Question 6 : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 1 \\ x^2 & \text{si } x \geqslant 1 \end{cases}$
Que peut-on conclure quant à la continuité de $f$ en $1$ ?
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 1 \\ x^2 & \text{si } x \geqslant 1 \end{cases}$
Que peut-on conclure quant à la continuité de $f$ en $1$ ?
- (Incorrect) $f$ est continue en $1$ car les deux limites valent $1$
- (Correct) $f$ n'est pas continue en $1$ car les limites à gauche et à droite diffèrent
- (Incorrect) $f$ est continue en $1$ car les deux morceaux sont des polynômes
- (Incorrect) on ne peut pas conclure sans tableau de variation