Déterminer si une homothétie est un agrandissement ou une réduction
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Créer un compteLe rapport $k$ d'une homothétie donne deux informations : le type de transformation (agrandissement ou réduction) et la position de l'image par rapport au centre.
Méthode
Pour déterminer si une homothétie de rapport $k$ est un agrandissement ou une réduction :
- Étape 1 : calculer la valeur absolue $|k|$ du rapport.
- Étape 2 : comparer $|k|$ à 1 :
- si $|k| > 1$ : c'est un agrandissement (la figure image est plus grande) ;
- si $|k| < 1$ : c'est une réduction (la figure image est plus petite) ;
- si $|k| = 1$ : les longueurs sont conservées (cas particulier).
- Étape 3 : déterminer le signe de $k$ pour savoir si l'image est du même côté ou de l'autre côté du centre.
Différents rapports
Déterminer la nature de chaque homothétie.
a) $k = 3$
On calcule $|k| = |3| = 3$. Comme $3 > 1$, c'est un agrandissement de facteur 3.
Comme $k > 0$, l'image est du même côté que la figure d'origine par rapport au centre.
b) $k = 0{,}25$
On calcule $|k| = |0{,}25| = 0{,}25$. Comme $0{,}25 < 1$, c'est une réduction de facteur $0{,}25$.
Les longueurs sont divisées par 4. Comme $k > 0$, l'image est du même côté.
c) $k = -2$
On calcule $|k| = |-2| = 2$. Comme $2 > 1$, c'est un agrandissement de facteur 2.
Comme $k < 0$, l'image est de l'autre côté du centre (retournement).
d) $k = -\dfrac{1}{3}$
On calcule $|k| = \dfrac{1}{3}$. Comme $\dfrac{1}{3} < 1$, c'est une réduction de facteur $\dfrac{1}{3}$.
Comme $k < 0$, il y a retournement par rapport au centre.
Cas particuliers
a) $k = 1$
On a $|k| = 1$ : les longueurs sont conservées. Chaque point est sa propre image. C'est l'identité (la figure ne bouge pas).
b) $k = -1$
On a $|k| = 1$ : les longueurs sont conservées. Mais comme $k < 0$, chaque point passe de l'autre côté du centre. C'est exactement la symétrie centrale de centre $O$.
Remarque
Le tableau ci-dessous résume les quatre cas possibles pour le rapport $k$ :
| Rapport $k$ | Type | Position de l'image |
| $k > 1$ | Agrandissement | Même côté du centre |
| $0 < k < 1$ | Réduction | Même côté du centre |
| $-1 < k < 0$ | Réduction | Autre côté (retournement) |
| $k < -1$ | Agrandissement | Autre côté (retournement) |
Attention
Le signe de $k$ n'indique pas si c'est un agrandissement ou une réduction. Par exemple, $k = -3$ donne un agrandissement (car $|{-}3| = 3 > 1$), et $k = 0{,}5$ donne une réduction (car $|0{,}5| < 1$).
Seule la valeur absolue $|k|$ détermine la taille de l'image.