Choisir la bonne formule de dénombrement
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Pour déterminer la formule adaptée à un problème de dénombrement, se poser deux questions :
- Étape 1 : L'ordre a-t-il de l'importance dans le résultat ?
- Étape 2 : La répétition d'un même élément est-elle possible ?
- Étape 3 : Appliquer la formule correspondante selon le tableau ci-dessous.
Remarque
| Ordre | Répétition | Situation | Formule |
|---|---|---|---|
| Oui | Oui | p-uplets avec répétition | $ n^p $ |
| Oui | Non (p = n) | Permutations | $ n! $ |
| Oui | Non (p < n) | Arrangements | $ A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!} $ |
| Non | Non | Combinaisons | $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!} $ |
Mots-clés pour identifier la situation :
- Ordre important : « code », « classement », « podium », « rang », « suite ordonnée »
- Ordre sans importance : « groupe », « équipe », « lot », « comité », « main de cartes »
- Répétition possible : « avec remise », « chaque choix indépendant »
- Pas de répétition : « éléments distincts », « sans remise », « tirage simultané »
Tirage de loto
Au loto, on tire 5 numéros parmi 49. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Étape 1 : L'ordre du tirage n'a pas d'importance : la grille {3, 12, 25, 36, 49} est la même que {49, 36, 25, 12, 3}.
Étape 2 : Pas de répétition : chaque numéro ne peut sortir qu'une seule fois.
Étape 3 : Ordre non, répétition non, donc c'est une combinaison :
$ \begin{pmatrix} 49 \\ 5 \end{pmatrix} = \dfrac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} $
$ = \dfrac{228\,826\,080}{120} $
Code PIN
Combien de codes PIN à 4 chiffres peut-on former ?
Étape 1 : L'ordre compte : le code 1234 est différent du code 4321.
Étape 2 : La répétition est possible : le code 1111 est valide.
Étape 3 : Ordre oui, répétition oui, donc c'est un p-uplet :
Élection d'un bureau
Un club de 20 membres élit un président, un secrétaire et un trésorier. Combien de bureaux différents sont possibles ?
Étape 1 : L'ordre compte : être président n'est pas la même chose qu'être trésorier.
Étape 2 : Pas de répétition : une même personne ne peut pas occuper deux postes.
Étape 3 : Ordre oui, répétition non, donc c'est un arrangement :
Attention
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de se demander si l'ordre compte. Par exemple, « former un comité de 3 personnes » (combinaison) et « attribuer 3 postes à 3 personnes » (arrangement) ne donnent pas le même résultat.