Calculer le volume d’un solide composé

Un réservoir a la forme d'un cylindre de rayon $ 4 $ cm et de hauteur $ 10 $ cm, surmonté d'une demi-boule de même rayon. Calculer le volume total du réservoir. Donner l'arrondi au cm³.

Étape 1 : on décompose le réservoir en deux solides :

• un cylindre de rayon $ R = 4 $ cm et de hauteur $ h = 10 $ cm
• une demi-boule de rayon $ r = 4 $ cm

Étape 2 : on calcule le volume de chaque partie.

Volume du cylindre :
$ V_1 = \pi \times R^2 \times h = \pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi $ cm³

Volume de la demi-boule :
$ V_2 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times \pi \times 4^3 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{256}{3}\pi = \dfrac{128}{3}\pi $ cm³

Étape 3 : on additionne les volumes :
$ V = V_1 + V_2 = 160\pi + \dfrac{128}{3}\pi = \dfrac{480\pi + 128\pi}{3} = \dfrac{608}{3}\pi $

Le volume total du réservoir est $ \dfrac{608}{3}\pi $ cm³, soit environ 636 cm³.

Une boule de rayon $ 5 $ cm est placée dans une boîte cubique dont l'arête intérieure mesure $ 10 $ cm. Calculer le volume de la boîte non occupé par la boule. Donner l'arrondi au cm³.

Étape 1 : on identifie deux solides :

• un cube d'arête $ c = 10 $ cm (la boîte)
• une boule de rayon $ r = 5 $ cm

Étape 2 : on calcule le volume de chaque solide.

Volume du cube :
$ V_{\text{cube}} = c^3 = 10^3 = 1~000 $ cm³

Volume de la boule :
$ V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 5^3 = \dfrac{4}{3} \times 125\pi = \dfrac{500}{3}\pi $ cm³

Étape 3 : on soustrait le volume de la boule du volume du cube :
$ V = V_{\text{cube}} - V_{\text{boule}} = 1~000 - \dfrac{500}{3}\pi \approx 1~000 - 523{,}6 $

Le volume non occupé est environ 476 cm³.