Calculer une distance inaccessible avec le théorème de Thalès
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Le théorème de Thalès permet de calculer des distances qu'on ne peut pas mesurer directement : la hauteur d'un arbre, d'un bâtiment, la largeur d'une rivière, etc. C'est d'ailleurs ainsi que Thalès aurait mesuré la hauteur de la grande pyramide de Kheops.
Méthode
- Étape 1 : Faire un schéma de la situation et placer les points.
- Étape 2 : Identifier les droites parallèles et les points alignés pour retrouver une configuration de Thalès.
- Étape 3 : Écrire l'égalité des rapports.
- Étape 4 : Remplacer par les valeurs connues et calculer la longueur cherchée.
Mesurer la hauteur d'un arbre avec les ombres
À un instant donné, un bâton vertical de $ 1{,}2 $ m planté dans le sol projette une ombre de $ 0{,}8 $ m. Au même instant, un arbre projette une ombre de $ 6 $ m.
Calculer la hauteur de l'arbre.
Étape 1 : On note $ S $ le sommet de l'arbre, $ P $ son pied, $ P' $ l'extrémité de son ombre, $ A $ le sommet du bâton, $ B $ son pied et $ B' $ l'extrémité de l'ombre du bâton.
Étape 2 : Les rayons du soleil sont parallèles entre eux, donc les droites $ (SP') $ et $ (AB') $ sont parallèles (ce sont deux rayons du soleil). Le bâton et l'arbre sont verticaux, donc les droites $ (SP) $ et $ (AB) $ sont parallèles.
On retrouve une configuration de Thalès. Les points $ P', B', $ et le soleil sont alignés le long des rayons, mais on peut raisonner plus simplement avec les triangles formés.
Les rayons du soleil frappent le sol sous le même angle, donc les triangles $ SP P' $ et $ ABB' $ sont dans une situation de proportionnalité :
Étape 3 : On remplace par les valeurs connues :
$ \dfrac{SP}{1{,}2} = \dfrac{6}{0{,}8} $
Étape 4 : On calcule :
$ SP = \dfrac{6 \times 1{,}2}{0{,}8} = \dfrac{7{,}2}{0{,}8} = 9 $
L'arbre mesure 9 m de haut.
Mesurer la largeur d'une rivière
Lucie veut mesurer la largeur d'une rivière. Depuis la rive sud, elle repère un arbre $ A $ sur la rive nord, exactement en face du point $ B $ où elle se trouve. Elle marche le long de la rive sud jusqu'à un point $ C $ situé à $ 12 $ m de $ B $.
Elle plante ensuite un piquet en $ D $ sur le segment $ [BC] $ à $ 2 $ m de $ B $. Enfin, elle s'éloigne perpendiculairement à la rive (vers le sud) jusqu'à un point $ E $ tel que les points $ A $, $ E $ et $ C $ soient alignés. Elle mesure $ DE = 5 $ m.
Calculer la largeur $ AB $ de la rivière.
Étape 1 : On a :
- $ (AB) $ est perpendiculaire à $ (BC) $ (l'arbre est en face)
- $ (DE) $ est perpendiculaire à $ (BC) $ (Lucie s'éloigne perpendiculairement)
Donc les droites $ (AB) $ et $ (DE) $ sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à la rive).
Étape 2 : Les points $ A, E, C $ sont alignés (par construction). Les points $ B, D, C $ sont alignés (sur la rive). Les droites $ (AB) $ et $ (ED) $ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :
Étape 3 : On connaît :
$ BC = 12 $ m, $ BD = 2 $ m donc $ CD = BC - BD = 12 - 2 = 10 $ m, et $ DE = 5 $ m.
On remplace :
$ \dfrac{12}{10} = \dfrac{AB}{5} $
Étape 4 : Par produit en croix :
$ 10 \times AB = 12 \times 5 $
$ 10 \times AB = 60 $
$ AB = \dfrac{60}{10} = 6 $
La rivière mesure 6 m de large.
Attention
Dans les problèmes concrets, il faut toujours bien vérifier que les conditions du théorème de Thalès sont réunies : deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes. Les droites verticales (arbre, bâton, poteau) sont parallèles entre elles. Les droites perpendiculaires à une même direction le sont aussi.