Mesure d'un arbre (Brevet 2013)

On peut modéliser la situation à l'aide de la figure ci-dessus où $\left[AE\right]$ représente l'arbre et $\left[FG\right]$ le bâton.

D'après les données de l'énoncé on a :

• $EF=BH=12$m

• $GF=2$m

• $HF=CD=1,6$m

• $FD=HC=1,2$m

On cherche à calculer la hauteur de l'arbre c'est à dire la longueur $AE$.

Les points $F, H$ et $G$ étant alignés :

$GH=GF-HF=2-1,6=0,4$

Les points $E, F$ et $D$ étant alignés :

$ED=EF+FD=12+1,2=13,2$ et par conséquent $BC=13,2$

Les droites $\left(AE\right)$ et $\left(GF\right)$, étant toutes deux verticales, sont parallèles ; donc d'après le théorème de Thalès :

$\frac{GC}{AC}=\frac{HC}{BC}=\frac{GH}{AB}$

$\frac{GC}{AC}=\frac{1,2}{13,2}=\frac{0,4}{AB}$

De l'égalité des rapports $\frac{1,2}{13,2}=\frac{0,4}{AB}$ on déduit :

$AB=\frac{0,4\times 13,2}{1,2}=4,4$

La hauteur totale de l'arbre est donc :

$AE=AB+BE=4,4+1,6=6$m

La hauteur du Pinus au-dessus du sol est $6$ mètres.