Calculer les premiers termes d’une suite
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Deux cas se présentent selon la définition de la suite $ \left(u_{n}\right) $.
Cas 1 : suite définie par une formule explicite $ u_{n}=f\left(n\right) $
- Étape 1 : identifier le rang $ n $ du terme cherché.
- Étape 2 : remplacer $ n $ par sa valeur dans la formule explicite.
- Étape 3 : calculer le résultat.
Cas 2 : suite définie par une relation de récurrence $ u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) $
- Étape 1 : écrire le premier terme donné (généralement $ u_{0} $ ou $ u_{1} $).
- Étape 2 : appliquer la relation de récurrence avec $ n=0 $ pour obtenir $ u_{1} $ à partir de $ u_{0} $.
- Étape 3 : recommencer avec $ n=1 $ pour obtenir $ u_{2} $ à partir de $ u_{1} $, et ainsi de suite.
Suite définie de façon explicite
Soit la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par $ u_{n}=2n^{2} - 3 $.
On cherche à calculer $ u_{0} $, $ u_{1} $, $ u_{2} $ et $ u_{5} $.
Étape 1 : identifier les rangs cherchés : $ n=0 $, $ n=1 $, $ n=2 $, $ n=5 $.
Étape 2 : remplacer $ n $ dans la formule $ u_{n}=2n^{2} - 3 $.
$ u_{0}=2\times 0^{2} - 3= - 3 $
$ u_{1}=2\times 1^{2} - 3= - 1 $
$ u_{2}=2\times 2^{2} - 3=2\times 4 - 3=5 $
$ u_{5}=2\times 5^{2} - 3=2\times 25 - 3=47 $
Remarque : dans le cas explicite, chaque terme se calcule indépendamment des autres. Il n'est pas nécessaire de calculer les termes intermédiaires pour obtenir $ u_{5} $.
Suite définie par récurrence
Soit la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie par :
On cherche à calculer $ v_{1} $, $ v_{2} $ et $ v_{3} $.
Étape 1 : le premier terme est donné : $ v_{0}=4 $.
Étape 2 : appliquer la relation $ v_{n+1}=3v_{n} - 5 $ avec $ n=0 $ :
$ v_{1}=3\times v_{0} - 5=3\times 4 - 5=12 - 5=7 $
Étape 3 : appliquer la relation avec $ n=1 $, puis $ n=2 $ :
$ v_{2}=3\times v_{1} - 5=3\times 7 - 5=21 - 5=16 $
$ v_{3}=3\times v_{2} - 5=3\times 16 - 5=48 - 5=43 $
Remarque : dans le cas d'une récurrence, il est impossible de calculer directement $ v_{3} $ sans avoir calculé $ v_{1} $ et $ v_{2} $ auparavant.
Remarque
Pour calculer de nombreux termes successifs d'une suite définie par récurrence, il est souvent plus rapide d'utiliser la calculatrice (mode Suite) ou un algorithme contenant une boucle « Pour » (voir la fiche méthode sur les algorithmes).
Attention
Il ne faut pas confondre :
- $ u_{n+1} $ qui désigne le terme de rang $ n+1 $ (le suivant de $ u_{n} $)
- $ u_{n}+1 $ qui désigne le terme $ u_{n} $ auquel on ajoute $ 1 $
Par exemple, si $ u_{n}=2n $, alors :
$ u_{n+1}=2\left(n+1\right)=2n+2 $
$ u_{n}+1=2n+1 $
Les deux résultats sont différents.