Calculer les paramètres de la moyenne empirique
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Soit $ (X_1, X_2, \cdots, X_n) $ un échantillon d'une loi de probabilité d'espérance $ \mu $, de variance $ V $ et d'écart-type $ \sigma $. La moyenne empirique est :
Ses paramètres sont :
Méthode
Pour calculer les paramètres de la moyenne empirique $ M_n $ :
- Étape 1 : Identifier la loi commune des variables de l'échantillon et calculer son espérance $ \mu $, sa variance $ V $ et son écart-type $ \sigma $.
- Étape 2 : L'espérance de $ M_n $ est la même que celle de la loi : $ E(M_n) = \mu $.
- Étape 3 : Diviser la variance par $ n $ : $ V(M_n) = \dfrac{V}{n} $.
- Étape 4 : Diviser l'écart-type par $ \sqrt{n} $ : $ \sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $.
Tirage de boules numérotées
Un sac contient cinq boules numérotées de 1 à 5. On tire une boule au hasard, on note son numéro, puis on la remet dans le sac. On répète cette expérience $ n = 100 $ fois. Calculer les paramètres de la moyenne empirique $ M_{100} $.
Étape 1 : La variable aléatoire $ X $ (numéro de la boule tirée) suit une loi uniforme sur $ \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\} $.
$ \mu = E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3 $
$ E(X^2) = \dfrac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}{5} = \dfrac{55}{5} = 11 $
$ V = V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 11 - 9 = 2 $
$ \sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}414 $
Étape 2 : L'espérance de la moyenne empirique :
Étape 3 : La variance de la moyenne empirique :
Étape 4 : L'écart-type de la moyenne empirique :
Contrôle qualité
Dans une usine, la masse d'un produit suit une loi de variable aléatoire $ X $ d'espérance $ \mu = 500 $ g et d'écart-type $ \sigma = 4 $ g. On prélève un échantillon de $ n = 64 $ produits. Calculer les paramètres de la moyenne empirique $ M_{64} $.
Étape 1 : On connaît directement : $ \mu = 500 $, $ \sigma = 4 $, donc $ V = \sigma^2 = 16 $.
Étape 2 : L'espérance :
Étape 3 : La variance :
Étape 4 : L'écart-type :
L'écart-type de la moyenne passe de $ 4 $ g (pour un seul produit) à $ 0{,}5 $ g (pour la moyenne de 64 produits) : la moyenne empirique est beaucoup plus concentrée autour de $ \mu $ que ne l'est une mesure individuelle.
Remarque
Quand la taille $ n $ de l'échantillon augmente, la variance et l'écart-type de $ M_n $ diminuent, tandis que l'espérance reste constante. La moyenne empirique devient de plus en plus « concentrée » autour de $ \mu $ : c'est le fondement de la loi des grands nombres.
Attention
- La variance est divisée par $ n $, mais l'écart-type est divisé par $ \color{red}{\sqrt{n}}\color{black} $ (et non par $ n $). Ne pas confondre les deux formules.
- Ces formules supposent que les variables $ X_1, \cdots, X_n $ sont indépendantes et de même loi (échantillon).