QCM : Moyenne empirique d’un échantillon
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Ce QCM porte sur les paramètres de la moyenne empirique $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$ d'un échantillon de taille $n$. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ est un échantillon d'une loi d'espérance $\mu = 10$. On considère un échantillon de taille $n=20$. Que vaut $E(M_n)$ ?
- (Incorrect) $0{,}5$
- (Correct) $10$
- (Incorrect) $200$
- (Incorrect) $\sqrt{10}$
Question 2 : $(X_1, \ldots, X_n)$ est un échantillon d'une loi de variance $V = 4$. Pour $n = 25$, que vaut $V(M_n)$ ?
- (Correct) $0{,}16$
- (Incorrect) $4$
- (Incorrect) $100$
- (Incorrect) $0{,}4$
Question 3 : $(X_1, \ldots, X_n)$ est un échantillon d'une loi d'écart-type $\sigma = 3$. Pour $n = 9$, que vaut $\sigma(M_n)$ ?
- (Incorrect) $3$
- (Correct) $1$
- (Incorrect) $\dfrac{1}{3}$
- (Incorrect) $\dfrac{1}{9}$
Question 4 : Quand la taille $n$ de l'échantillon augmente, comment évoluent les paramètres de la moyenne empirique $M_n$ ?
- (Incorrect) $E(M_n)$ et $V(M_n)$ augmentent toutes les deux.
- (Incorrect) $E(M_n)$ augmente et $V(M_n)$ ne change pas.
- (Correct) $E(M_n)$ ne change pas et $V(M_n)$ tend vers $0$.
- (Incorrect) $E(M_n)$ tend vers $0$ et $V(M_n)$ tend vers $\sigma^2$.
Question 5 : On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le résultat : $E(X) = 3{,}5$ et $V(X) = \dfrac{35}{12}$. On lance ce dé $n = 100$ fois et on note $M_{100}$ la moyenne des résultats. Que vaut $E(M_{100})$ ?
- (Incorrect) $0{,}035$
- (Correct) $3{,}5$
- (Incorrect) $350$
- (Incorrect) $\dfrac{35}{12}$
Question 6 : On lance un dé équilibré $n=100$ fois. Avec $V(X) = \dfrac{35}{12} \approx 2{,}92$, donner une valeur approchée de $\sigma(M_{100})$, l'écart-type de la moyenne empirique.
- (Incorrect) $1{,}71$
- (Incorrect) $0{,}029$
- (Correct) $0{,}171$
- (Incorrect) $0{,}0292$