Additionner et soustraire des fractions
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Pour additionner ou soustraire deux fractions :
- Chercher un dénominateur commun aux deux fractions.
- Réécrire chaque fraction avec ce dénominateur commun.
- Additionner ou soustraire les numérateurs en conservant le dénominateur commun.
- Simplifier la fraction obtenue si possible.
Choix du dénominateur commun
Le dénominateur commun doit être un multiple commun des deux dénominateurs. L'idéal est de choisir le plus petit (le PPCM), pour éviter de manipuler des nombres inutilement grands.
En pratique, deux cas particuliers reviennent très souvent :
- L'un est un multiple de l'autre : on garde directement le plus grand des deux. Par exemple, entre $ 3 $ et $ 6 $, on choisit $ 6 $.
- Les deux sont premiers entre eux (aucun diviseur commun autre que $ 1 $) : on les multiplie entre eux. Par exemple, entre $ 4 $ et $ 5 $, on choisit $ 4 \times 5 = 20 $.
Dans tous les autres cas, on cherche le PPCM. Par exemple, entre $ 4 $ et $ 6 $, on ne prend pas $ 24 $ mais $ 12 $.
Dénominateurs dont l'un est multiple de l'autre
Calculer $ A = \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{3} $.
Étape 1 : On cherche un dénominateur commun.
$ 6 $ est un multiple de $ 3 $ (car $ 6 = 3 \times 2 $), donc on choisit $ 6 $ comme dénominateur commun.
Étape 2 : On réécrit $ \dfrac{1}{3} $ avec le dénominateur $ 6 $ :
$ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6} $
Étape 3 : On additionne les numérateurs :
$ A = \dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5 + 2}{6} = \dfrac{7}{6} $
Dénominateurs premiers entre eux
Calculer $ B = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{5} $.
Étape 1 : $ 4 $ et $ 5 $ n'ont aucun diviseur commun autre que $ 1 $. On prend $ 4 \times 5 = 20 $ comme dénominateur commun.
Étape 2 : On réécrit chaque fraction :
$ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20} \qquad \dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{8}{20} $
Étape 3 : On soustrait les numérateurs :
$ B = \dfrac{15}{20} - \dfrac{8}{20} = \dfrac{15 - 8}{20} = \dfrac{7}{20} $
Avec des fractions négatives
Calculer $ C = \dfrac{-2}{3} + \dfrac{5}{9} $.
Étape 1 : $ 9 $ est un multiple de $ 3 $ (car $ 9 = 3 \times 3 $), donc on choisit $ 9 $.
Étape 2 : On réécrit $ \dfrac{-2}{3} $ :
$ \dfrac{-2}{3} = \dfrac{-2 \times 3}{3 \times 3} = \dfrac{-6}{9} $
Étape 3 : On additionne :
$ C = \dfrac{-6}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{-6 + 5}{9} = \dfrac{-1}{9} $
Attention
On ne peut jamais additionner ou soustraire les dénominateurs entre eux.
Exemple : $ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} \neq \dfrac{2}{8} $.
Le calcul correct donne : $ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15} $.