La fonction carré est définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = x^2$.

Propriétés :

• Signe de la fonction carré

  • La fonction carré $f(x) = x^2$ est toujours positive ou nulle, pour tout $x$ réel. Cela signifie que le résultat de $x^2$ ne peut jamais être négatif.

  • Elle est nulle uniquement lorsque $x = 0$. Pour tous les autres valeurs de $x$, positives ou négatives, $x^2$ est positif.

• Variations de la fonction carré

  • La fonction carré est décroissante sur l'intervalle $] - \infty, 0]$. Cela signifie que plus on se rapproche de zéro par la gauche, plus les valeurs de $x^2$ diminuent.

  • La fonction carré est croissante sur l'intervalle $[0, +\infty[$. Cela signifie que plus $x$ s'éloigne de zéro vers la droite, plus les valeurs de $x^2$ augmentent.

  • Voici le tableau de variation de cette fonction sur $\mathbb{R}$.

    

• Minimum de la fonction carré

  • La fonction carré atteint son minimum lorsque $x = 0$, avec $f(0) = 0^2 = 0$.

  • Ce minimum est un minimum global car aucune autre valeur de $f(x)$ pour $x \neq 0$ n'est inférieure à zéro.

Graphiquement, la fonction carré peut être représentée par une parabole qui s'ouvre vers le haut. Le sommet de cette parabole est le point $(0, 0)$, correspondant au minimum de la fonction. La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.