Statistiques : notes au brevet blanc
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Les 25 élèves d'une classe de 3e ont passé un brevet blanc de mathématiques noté sur 40 points. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :
| Note | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
| Effectif | 2 | 3 | 5 | 6 | 4 | 3 | 2 |
- Calculer la note moyenne de cette classe. Arrondir au dixième.
- Déterminer la médiane de cette série.
- Déterminer le premier quartile $ Q_1 $ et le troisième quartile $ Q_3 $ de cette série.
- Le professeur considère que les élèves ayant obtenu une note supérieure ou égale à 24 ont un « niveau satisfaisant ». Quel pourcentage d'élèves a un niveau satisfaisant ?
Corrigé
On calcule la moyenne pondérée :
$ \bar{x} = \dfrac{12 \times 2 + 16 \times 3 + 20 \times 5 + 24 \times 6 + 28 \times 4 + 32 \times 3 + 36 \times 2}{25} $
$ \bar{x} = \dfrac{24 + 48 + 100 + 144 + 112 + 96 + 72}{25} $
$ \bar{x} = \dfrac{596}{25} = 23{,}84 $La note moyenne est de 23,8 sur 40 (arrondie au dixième).
L'effectif total est 25 (impair). La médiane est la valeur en position $ \dfrac{25 + 1}{2} = 13 $.
On calcule les effectifs cumulés croissants :
Note 12 16 20 24 28 32 36 effectif 2 3 5 6 4 3 2 eff. cumulé 2 5 10 16 20 23 25 La 13e valeur se situe dans le groupe « 24 » (l'effectif cumulé passe de 10 à 16).
La médiane est 24 sur 40.
Pour le premier quartile, on calcule $ \dfrac{25}{4} = 6{,}25 $, que l'on arrondit à l'entier supérieur : 7.
Le premier quartile $ Q_1 $ est la 7e valeur de la série ordonnée.
D'après le tableau des effectifs cumulés, la 7e valeur se situe dans le groupe « 20 » (l'effectif cumulé passe de 5 à 10).Donc $\mathbf{Q_1 = 20}$.
Pour le troisième quartile, on calcule $ \dfrac{3 \times 25}{4} = 18{,}75 $, que l'on arrondit à l'entier supérieur : 19.
Le troisième quartile $ Q_3 $ est la 19e valeur de la série ordonnée.
D'après le tableau, la 19e valeur se situe dans le groupe « 28 » (l'effectif cumulé passe de 16 à 20).Donc $\mathbf{Q_3 = 28}$.
Au moins 25% des élèves ont obtenu 20 ou moins, et au moins 75% ont obtenu 28 ou moins.
Les élèves ayant obtenu 24 ou plus sont ceux dans les groupes 24, 28, 32 et 36.
Leur effectif est :
$ 6 + 4 + 3 + 2 = 15 $Le pourcentage correspondant est :
$ \dfrac{15}{25} \times 100 = 60 $60% des élèves ont un niveau satisfaisant.