Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré
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Pour représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré :
- Étape 1 : Tracer, à partir de chaque nœud, deux branches : une pour le succès ($ S $, probabilité $ p $) et une pour l'échec ($ \overline S $, probabilité $ 1-p $).
- Étape 2 : Répéter cette construction pour chacune des $ n $ épreuves (l'arbre comporte $ n $ niveaux).
- Étape 3 : Pour lire la probabilité d'un chemin, multiplier les probabilités inscrites le long de ce chemin.
- Étape 4 : Pour obtenir $ p(X = k) $, additionner les probabilités de tous les chemins comportant exactement $ k $ succès.
Trois lancers d'une pièce truquée
On lance 3 fois une pièce truquée donnant Pile (succès) avec la probabilité $ p = \dfrac{1}{3} $ et Face (échec) avec la probabilité $ \dfrac{2}{3} $. On note $ X $ le nombre de Pile obtenus.
Étape 1 et 2 : On construit l'arbre à 3 niveaux :
Étape 3 : La probabilité du chemin $ S S \overline S $ (2 Pile puis 1 Face) est :
$ \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{27} $
Étape 4 : Pour obtenir $ p(X = 2) $, on repère les 3 chemins avec exactement 2 succès : $ SS\overline S $, $ S\overline S S $ et $ \overline S SS $. Chacun a la même probabilité $ \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{27} $.
Donc :
Contrôle qualité — 2 pièces
Dans une usine, 5 % des pièces produites sont défectueuses. On contrôle 2 pièces au hasard (production suffisamment grande pour considérer les tirages indépendants). On note $ X $ le nombre de pièces défectueuses.
Étape 1 et 2 : Succès = pièce défectueuse, $ p = 0{,}05 $. L'arbre a 2 niveaux :
Étape 3 : La probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse est :
$ p(X = 0) = 0{,}95 \times 0{,}95 = 0{,}9025 $
Étape 4 : La probabilité d'obtenir exactement 1 pièce défectueuse est :
$ p(X = 1) = 0{,}05 \times 0{,}95 + 0{,}95 \times 0{,}05 = 2 \times 0{,}0475 $
Remarque
L'arbre pondéré est très utile pour les petites valeurs de $ n $ (2 ou 3). Pour des valeurs plus grandes, on utilise directement la formule $ p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $ car l'arbre devient trop volumineux (il comporte $ 2^n $ chemins).
Attention
- Ne pas oublier qu'il faut multiplier les probabilités le long d'un chemin (pas les additionner).
- Pour calculer $ p(X = k) $, il faut additionner les probabilités de tous les chemins correspondants (pas en prendre un seul).