Construire un arbre pondéré pour une expérience à deux épreuves
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Pour construire un arbre pondéré représentant une expérience à deux épreuves :
- Étape 1 : Identifier les deux épreuves successives et les issues de chacune.
- Étape 2 : Tracer les branches de la première épreuve (une branche par issue) et inscrire la probabilité de chaque issue sur sa branche.
- Étape 3 : À partir de chaque issue de la première épreuve, tracer les branches de la deuxième épreuve et inscrire les probabilités correspondantes.
- Étape 4 : Vérifier que la somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1.
Pièce de monnaie puis dé
On lance une pièce de monnaie équilibrée, puis un dé non truqué à six faces. On s'intéresse au résultat de la pièce (Pile ou Face) et à la parité du nombre obtenu (Pair ou Impair). Construire l'arbre pondéré.
Étape 1 : La première épreuve est le lancer de la pièce (issues : Pile, Face). La deuxième épreuve est le lancer du dé dont on observe la parité (issues : Pair, Impair).
Étape 2 : On trace les branches de la première épreuve avec leurs probabilités :
$p(\text{Pile}) = \dfrac{1}{2}$ et $p(\text{Face}) = \dfrac{1}{2}$.
Étape 3 : À partir de chaque résultat de la pièce, on trace les branches de la parité du dé :
$p(\text{Pair}) = \dfrac{1}{2}$ et $p(\text{Impair}) = \dfrac{1}{2}$.
Étape 4 : On vérifie : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$ pour chaque noeud.
Deux urnes différentes
On tire une boule dans une première urne contenant 2 boules rouges et 3 boules vertes, puis une boule dans une deuxième urne contenant 1 boule noire et 4 boules blanches. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. Construire l'arbre pondéré.
Étape 1 : Première épreuve : tirage dans l'urne 1 (issues : Rouge, Verte). Deuxième épreuve : tirage dans l'urne 2 (issues : Noire, Blanche).
Étape 2 : Probabilités de la première épreuve :
$p(\text{Rouge}) = \dfrac{2}{5}$ et $p(\text{Verte}) = \dfrac{3}{5}$.
Étape 3 : Probabilités de la deuxième épreuve (identiques quel que soit le premier tirage) :
$p(\text{Noire}) = \dfrac{1}{5}$ et $p(\text{Blanche}) = \dfrac{4}{5}$.
Étape 4 : Vérification : $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} = 1$ et $\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} = 1$.
Attention
Ne pas oublier de vérifier la somme des probabilités à chaque noeud. Si la somme n'est pas égale à 1, c'est qu'une erreur s'est glissée dans le calcul des probabilités.