Contrôle qualité : comparer deux machines
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Un atelier fabrique des vis de longueur théorique $40$ mm. Deux machines M$_1$ et M$_2$ sont en fonctionnement simultané. Pour vérifier leur réglage, on prélève un échantillon de $20$ vis sur chacune des deux machines et on mesure leur longueur (en mm).
Échantillon de la machine M$_1$ :
| Longueur (en mm) | 39 | 39,5 | 40 | 40,5 | 41 |
| Effectif | 2 | 4 | 8 | 4 | 2 |
Échantillon de la machine M$_2$ :
| Longueur (en mm) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
| Effectif | 3 | 4 | 6 | 4 | 3 |
Pour l'échantillon issu de la machine M$_1$ :
- Calculer la longueur moyenne $\bar{x}_1$.
- Calculer la variance, puis l'écart-type $s_1$ (arrondi au centième).
Pour l'échantillon issu de la machine M$_2$ :
- Calculer la longueur moyenne $\bar{x}_2$.
- Calculer la variance, puis l'écart-type $s_2$ (arrondi au centième).
- Comparer les deux machines à l'aide de la moyenne puis de l'écart-type. Laquelle des deux machines est la plus précise ? Justifier.
- Le cahier des charges de l'atelier impose que chaque vis mesure entre $39$ mm et $41$ mm (bornes incluses). Pour chaque machine, déterminer le pourcentage de vis conformes dans l'échantillon.
- En déduire laquelle des deux machines respecte le cahier des charges.
Corrigé
- La longueur moyenne de l'échantillon de M$_1$ est :
$\bar{x}_1 = \dfrac{2 \times 39 + 4 \times 39{,}5 + 8 \times 40 + 4 \times 40{,}5 + 2 \times 41}{20}$
$\bar{x}_1 = \dfrac{78 + 158 + 320 + 162 + 82}{20} = \dfrac{800}{20} = 40$
La longueur moyenne pour M$_1$ est $\bar{x}_1 = 40$ mm. La variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne :
$V_1 = \dfrac{2 \times (39 - 40)^2 + 4 \times (39{,}5 - 40)^2 + \dots + 2 \times (41 - 40)^2}{20}$
$V_1 = \dfrac{2 \times 1 + 4 \times 0{,}25 + 8 \times 0 + 4 \times 0{,}25 + 2 \times 1}{20} = \dfrac{6}{20} = 0{,}3$L'écart-type est :
$s_1 = \sqrt{V_1} = \sqrt{0{,}3}$ ≈ $0{,}55$ mm.
- La longueur moyenne de l'échantillon de M$_1$ est :
- La longueur moyenne de l'échantillon de M$_2$ est :
$\bar{x}_2 = \dfrac{3 \times 38 + 4 \times 39 + 6 \times 40 + 4 \times 41 + 3 \times 42}{20}$
$\bar{x}_2 = \dfrac{114 + 156 + 240 + 164 + 126}{20} = \dfrac{800}{20} = 40$
La longueur moyenne pour M$_2$ est $\bar{x}_2 = 40$ mm. La variance est :
$V_2 = \dfrac{3 \times (38 - 40)^2 + 4 \times (39 - 40)^2 + \dots + 3 \times (42 - 40)^2}{20}$
$V_2 = \dfrac{3 \times 4 + 4 \times 1 + 6 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 4}{20} = \dfrac{32}{20} = 1{,}6$L'écart-type est :
$s_2 = \sqrt{V_2} = \sqrt{1{,}6}$ ≈ $1{,}26$ mm.
- La longueur moyenne de l'échantillon de M$_2$ est :
Les deux machines produisent des vis dont la longueur moyenne est identique : $\bar{x}_1 = \bar{x}_2 = 40$ mm. Elles sont donc bien réglées en moyenne.
En revanche, leurs écarts-types sont très différents : $s_1 \approx 0{,}55$ mm alors que $s_2 \approx 1{,}26$ mm. L'écart-type de M$_1$ est plus de deux fois plus petit que celui de M$_2$ : les longueurs des vis produites par M$_1$ sont donc beaucoup moins dispersées autour de la moyenne.
La machine M$_1$ est la plus précise.On dénombre les vis dont la longueur appartient à $[39\,;\,41]$ :
Pour M$_1$, toutes les valeurs ($39$ ; $39{,}5$ ; $40$ ; $40{,}5$ ; $41$) sont comprises entre $39$ et $41$. Le nombre de vis conformes est :
$2 + 4 + 8 + 4 + 2 = 20$
soit $\dfrac{20}{20} = 1$ = $\mathbf{100\,\%}$ de vis conformes.Pour M$_2$, les valeurs $38$ et $42$ sont hors intervalle ; les valeurs $39$, $40$ et $41$ sont conformes. Le nombre de vis conformes est :
$4 + 6 + 4 = 14$
soit $\dfrac{14}{20} = 0{,}7$ = $\mathbf{70\,\%}$ de vis conformes.- Seule la machine M$_1$ produit $100\,\%$ de vis conformes au cahier des charges, contre seulement $70\,\%$ pour M$_2$.
La machine M$_1$ respecte le cahier des charges, pas la machine M$_2$.
→ Pour réviser : Calculer la variance et l'écart type à la calculatrice