Calcul littéral : Simplification de fractions

A=\dfrac{x^2-4}{(x-1)(x+2)}

1. La fraction A est définie si et seulement si son dénominateur est non nul.

   Or :
   (x-1)(x+2)=0 \Leftrightarrow x-1 = 0 \text{ ou } x+2=0
   \phantom{(x-1)(x+2)=0} \Leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x=-2.

   Donc l’ensemble de définition de A est \mathscr{D}_A=\mathbb{R} \backslash \{-2~;~1\}.

2. On factorise le numérateur à l’aide de l’identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b) :

   x^2-4=(x-2)(x+2)

   Par conséquent pour tout réel x \in \mathscr{D}_A~:

   A=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+2)}= \dfrac{x-2}{x-1}

3. La fraction simplifiée est définie si et seulement si x \neq 1 donc sur \mathbb{R} \backslash \{~1\}.

B=\dfrac{(x+1)(x-5)+(x+1)^2}{x^2+2x+1}

1. Le dénominateur se factorise grâce à l’identité remarquable a^2+2ab+b^2=(a+b)^2~:

   x^2+2x+1=(x+1)^2

   Le dénominateur est différent de zéro si et seulement si x \neq -1 donc \mathscr{D}_B=\mathbb{R} \backslash \{-1\}.

2. On peut mettre (x+1) en facteur au numérateur :

   (x+1)(x-5)+(x+1)^2=(x+1)\left[(x-5)+(x+1)\right]
   \phantom{(x+1)(x-5)+(x+1)^2}=(x+1)(2x-4).

   Par conséquent, pour tout réel x \in \mathscr{D}_B :

   B=\dfrac{(x+1)(2x-4)+(x+1)^2}{(x+1)^2}
   \phantom{B}=\dfrac{(x+1)(2x-4)}{(x+1)^2}
   \phantom{B}=\dfrac{2x-4}{x+1}.

3. L’ensemble de définition de la fraction simplifiée est encore \mathbb{R} \backslash \{-1\}.

C=\dfrac{x^4-1}{(x-1)(2x+1)}

1. Le dénominateur est non nul si et seulement si x \neq 1 et x \neq -\dfrac{1}{2}.. Donc \mathscr{D}_C=\mathbb{R} \backslash \left\{-\dfrac{1}{2}~;~1\right\}.

2. x^4-1 se factorise de la manière suivante  :

   x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1).

   Remarque : x^2+1 ne peut pas être factorisé dans \mathbb{R}.

   On en déduit que :

   C=\dfrac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{(x-1)(2x+1)}\dfrac{(x+1)(x^2+1)}{2x+1}

3. La fraction simplifiée est définie sur l’ensemble \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}.