Volume d’une boîte sans couvercle : modéliser et lire un maximum
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On dispose d'une feuille rectangulaire de carton de longueur $20$ cm et de largeur $14$ cm. Aux quatre coins, on découpe un carré de côté $x$ cm (où $x$ est un nombre positif). On plie ensuite les bandes restantes pour obtenir une boîte sans couvercle.
On note $V(x)$ le volume de la boîte obtenue, exprimé en cm$^3$.
- Justifier que la valeur de $x$ doit vérifier $0 < x < 7$.
- Exprimer la longueur $L$ et la largeur $\ell$ de la base de la boîte en fonction de $x$.
- Montrer que $V(x) = x(20 - 2x)(14 - 2x)$.
- Calculer $V(1)$, $V(2)$, $V(3)$, $V(4)$, $V(5)$ et $V(6)$.
- Sur du papier millimétré, représenter la fonction $V$ dans un repère adapté en plaçant les points obtenus.
- Lire graphiquement la valeur entière de $x$ pour laquelle le volume de la boîte semble maximal. Donner alors ce volume.
Corrigé
- La longueur $x$ d'un côté de carré découpé doit être strictement positive : $x > 0$. De plus, après découpe, la largeur restante de la base mesure $14 - 2x$. Cette largeur doit être strictement positive :
$14 - 2x > 0$
$2x < 14$
$x < 7$
Donc $x$ doit vérifier $\mathbf{0 < x < 7}$. - La longueur de la base s'obtient en retirant deux fois $x$ à la longueur initiale :
$L = 20 - 2x$
La largeur s'obtient en retirant deux fois $x$ à la largeur initiale :
$\ell = 14 - 2x$ Lorsque l'on plie la feuille, la hauteur de la boîte est égale à $x$. Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions :
$V(x) = x \times L \times \ell = x(20 - 2x)(14 - 2x)$On remplace $x$ par chaque valeur dans $V(x) = x(20 - 2x)(14 - 2x)$.
$V(1) = 1 \times (20 - 2) \times (14 - 2) = 1 \times 18 \times 12 = 216$
$V(2) = 2 \times (20 - 4) \times (14 - 4) = 2 \times 16 \times 10 = 320$
$V(3) = 3 \times (20 - 6) \times (14 - 6) = 3 \times 14 \times 8 = 336$
$V(4) = 4 \times (20 - 8) \times (14 - 8) = 4 \times 12 \times 6 = 288$
$V(5) = 5 \times (20 - 10) \times (14 - 10) = 5 \times 10 \times 4 = 200$
$V(6) = 6 \times (20 - 12) \times (14 - 12) = 6 \times 8 \times 2 = 96$$x$ (en cm) $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $V(x)$ (en cm$^3$) $216$ $320$ $336$ $288$ $200$ $96$ On reporte les six points $(1\,;\,216)$, $(2\,;\,320)$, $(3\,;\,336)$, $(4\,;\,288)$, $(5\,;\,200)$ et $(6\,;\,96)$ dans un repère, puis on les relie par une courbe lisse.
- Sur la courbe, le point le plus haut parmi les valeurs entières de $x$ est atteint pour $\mathbf{x = 3}$. Le volume maximal vaut alors $336$ cm$^3$.