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Divisibilité et nombres premiers Exercices

Division euclidienne : ranger des livres

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

La bibliothèque d'un collège vient de recevoir $ 437 $ nouveaux livres. Le bibliothécaire souhaite les ranger dans des étagères pouvant accueillir exactement $ 24 $ livres chacune.

  1. Effectuer la division euclidienne de $ 437 $ par $ 24 $. Donner le quotient et le reste.
  2. En déduire le nombre d'étagères qui peuvent être entièrement remplies, ainsi que le nombre de livres qui resteront sur l'étagère incomplète.
  3. Le bibliothécaire achète ensuite $ 12 $ livres supplémentaires. Avec ce nouveau total, peut-il remplir entièrement toutes les étagères qu'il utilise, sans aucun livre restant ? Justifier.
  4. Combien de livres faudrait-il en plus du stock initial de $ 437 $ pour pouvoir remplir entièrement un nombre exact d'étagères, sans qu'aucun livre ne soit isolé ?

Corrigé

  1. On cherche le plus grand multiple de $ 24 $ inférieur ou égal à $ 437 $.
    $ 24 \times 18 = 432 $ et $ 24 \times 19 = 456 $, donc le quotient est $ 18 $.
    Le reste vaut $ 437 - 432 = 5 $.
    La division euclidienne s'écrit :

    $ 437 = 24 \times 18 + 5 $ avec $ 0 \leqslant 5 < 24 $

    Le quotient est $\mathbf{18}$ et le reste est $\mathbf{5}$.

  2. Le quotient indique combien d'étagères sont entièrement remplies, et le reste donne les livres restants.
    Le bibliothécaire peut remplir entièrement $ 18 $ étagères, et il restera $ 5 $ livres sur une dernière étagère incomplète.
  3. Avec $ 12 $ livres supplémentaires, le total devient $ 437 + 12 = 449 $.
    On effectue la division euclidienne de $ 449 $ par $ 24 $ :
    $ 24 \times 18 = 432 $ et $ 449 - 432 = 17 $, donc $ 449 = 24 \times 18 + 17 $.
    Le reste est $ 17 \neq 0 $, donc le bibliothécaire ne peut pas remplir entièrement toutes les étagères. Il aura $ 18 $ étagères pleines et $ 17 $ livres sur une étagère incomplète.
  4. Pour remplir un nombre exact d'étagères, le total doit être un multiple de $ 24 $.
    Le plus petit multiple de $ 24 $ supérieur ou égal à $ 437 $ est :
    $ 24 \times 19 = 456 $.
    Il faut donc ajouter $ 456 - 437 = $ $ 19 $ livres au stock initial.
    Vérification : $ 437 + 19 = 456 = 24 \times 19 $, qui correspond à $ 19 $ étagères pleines.