Construire une frise et un pavage à partir d’un motif
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Sur le quadrillage ci-dessous, on a tracé un motif : un carré de 2 carreaux de côté, partagé par une diagonale en deux triangles, l'un bleu et l'autre orange. Le vecteur $\vec{u}$ représenté correspond à un déplacement de 3 carreaux vers la droite.
1. Construire la frise obtenue en reproduisant le motif par la translation de vecteur $\vec{u}$, de façon à obtenir 4 motifs alignés au total.
2. On veut maintenant réaliser un pavage. À partir du motif de départ, on utilise deux translations : la translation de vecteur $\vec{a}$ (2 carreaux vers la droite) et la translation de vecteur $\vec{b}$ (2 carreaux vers le haut). Construire le pavage qui recouvre un rectangle de 6 carreaux de large sur 4 carreaux de haut, soit 3 motifs en largeur et 2 motifs en hauteur.
Corrigé
1. La frise
On applique la translation de vecteur $\vec{u}$ (3 carreaux vers la droite) au motif, puis on recommence à partir de chaque nouvelle image. Les motifs occupent les positions de gauche à droite, espacés de 3 carreaux. On obtient une frise de 4 motifs identiques, tous orientés de la même manière (la translation ne retourne pas le motif).
2. Le pavage
On reproduit le motif dans deux directions : vers la droite par la translation de vecteur $\vec{a}$ (2 carreaux) et vers le haut par la translation de vecteur $\vec{b}$ (2 carreaux). Comme le côté du motif mesure exactement 2 carreaux, les motifs se touchent sans laisser de trou ni se superposer. On obtient un pavage de $3 \times 2 = 6$ motifs.
Une frise n'utilise qu'une seule translation (une seule direction), tandis qu'un pavage en utilise deux et recouvre tout le plan.