Hauteur dans un triangle quelconque

$ABC$ est un triangle tel que $AC = 10$ cm, $BC = 14$ cm et $\widehat{ACB} = 50^{\circ}$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ : $H$ appartient à la droite $(BC)$ et $(AH) \perp (BC)$.

On admet que $H$ appartient au segment $[BC]$.

Triangle ABC avec AC = 10 cm, BC = 14 cm, angle ACB = 50 degrés et H pied de la hauteur issue de A

Justifier que le triangle $ACH$ est rectangle en $H$, puis calculer la longueur $CH$, arrondie au mm.
Calculer la longueur $AH$ (la hauteur du triangle issue de $A$), arrondie au mm.
En déduire la longueur $BH$, puis la longueur $AB$, arrondie au mm.
Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré.

Corrigé

Par construction, $(AH) \perp (BC)$ et $H \in (BC)$. Le triangle $ACH$ est donc rectangle en $H$.

L'hypoténuse de $ACH$ est $[AC]$ ($10$ cm). Le côté adjacent à $\widehat{ACH} = 50^{\circ}$ est $[CH]$.

$\cos(\widehat{ACH}) = \dfrac{CH}{AC}$
$\cos(50^{\circ}) = \dfrac{CH}{10}$
$CH = 10 \times \cos(50^{\circ}) \approx 10 \times 0{,}6428 \approx 6{,}428$ cm

On obtient $CH \approx 6{,}4$ cm.
Le triangle $ACH$ est rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$10^2 = AH^2 + (10\cos(50^{\circ}))^2$
$AH^2 = 100 - 41{,}32$
$AH^2 \approx 58{,}68$
$AH \approx \sqrt{58{,}68} \approx 7{,}66$ cm

On obtient $AH \approx 7{,}7$ cm.
Comme $H$ appartient au segment $[BC]$ :
$BH = BC - CH \approx 14 - 6{,}428 \approx 7{,}572$ cm

Donc $BH \approx 7{,}6$ cm.

Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ (par construction de $H$). D'après le théorème de Pythagore :
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AB^2 \approx 58{,}68 + 57{,}33$
$AB^2 \approx 116{,}01$
$AB \approx \sqrt{116{,}01} \approx 10{,}77$ cm

On obtient $AB \approx 10{,}8$ cm.
Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$, $[AB]$ est l'hypoténuse, et $[BH]$ est le côté adjacent à $\widehat{ABH}$.

$\cos(\widehat{ABH}) = \dfrac{BH}{AB} \approx \dfrac{7{,}572}{10{,}77} \approx 0{,}703$
$\widehat{ABH} = \cos^{-1}(0{,}703) \approx 45^{\circ}$

L'angle $\widehat{ABC}$ et l'angle $\widehat{ABH}$ sont identiques (puisque $H \in [BC]$), donc $\mathbf{\widehat{ABC} \approx 45^{\circ}}$.

Pour réviser : Résoudre un problème concret avec le cosinus.

Échelle de pompier

Une échelle de pompier mesure $12$ m. Elle est posée contre un mur vertical, son pied étant placé à $3{,}5$ m du mur.

Calculer la mesure $\alpha$ de l'angle que fait l'échelle avec le sol, arrondie au degré.
Calculer la hauteur atteinte par le sommet de l'échelle sur le mur, arrondie au cm. (On pourra utiliser le théorème de Pythagore.)

Corrigé

On note $P$ le pied de l'échelle, $S$ son sommet et $M$ le point du mur situé au pied du mur (juste sous $S$). Le triangle $PMS$ est rectangle en $M$ (mur vertical, sol horizontal).

L'hypoténuse est $[PS]$ (l'échelle, $12$ m).
Le côté adjacent à $\alpha = \widehat{SPM}$ est $[PM]$ (la distance au sol, $3{,}5$ m).

$\cos(\alpha) = \dfrac{PM}{PS} = \dfrac{3{,}5}{12}$

À la calculatrice (en mode degrés) :
$\alpha = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{3{,}5}{12}\right) \approx 73^{\circ}$

L'échelle fait un angle d'environ $\mathbf{73^{\circ}}$ avec le sol.
La hauteur cherchée est $MS$. Comme le triangle $PMS$ est rectangle en $M$, le théorème de Pythagore donne :
$PS^2 = PM^2 + MS^2$
$12^2 = 3{,}5^2 + MS^2$
$144 = 12{,}25 + MS^2$
$MS^2 = 144 - 12{,}25$
$MS^2 = 131{,}75$
$MS = \sqrt{131{,}75}$
$MS \approx 11{,}478$ m

Le sommet de l'échelle atteint une hauteur d'environ $11{,}48$ m, soit $1148$ cm.

Pour réviser : Résoudre un problème concret avec le cosinus.

Pylône maintenu par un hauban

Un pylône vertical est maintenu par un hauban (câble en tension) attaché à son sommet et fixé au sol. Le hauban mesure $18$ m et son point d'ancrage au sol est situé à $7$ m du pied du pylône.

Pylône vertical maintenu par un hauban de 18 m, ancré à 7 m du pied du pylône

Calculer la mesure de l'angle $\alpha$ que fait le hauban avec le sol, arrondie au degré.
Pour qu'un hauban maintienne efficacement un pylône, il doit faire avec le sol un angle compris entre $60^{\circ}$ et $75^{\circ}$. Le hauban de l'exercice respecte-t-il ces conditions ?

Corrigé

On note $P$ le pied du pylône, $S$ son sommet et $A$ le point d'ancrage du hauban au sol. Comme le pylône est vertical et le sol horizontal, le triangle $PSA$ est rectangle en $P$.

L'hypoténuse est $[SA]$ (le hauban, $18$ m).
Le côté adjacent à l'angle $\alpha = \widehat{SAP}$ est $[PA]$ (la distance au sol, $7$ m).

$\cos(\alpha) = \dfrac{PA}{SA} = \dfrac{7}{18}$

À la calculatrice (en mode degrés) :
$\alpha = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{7}{18}\right) \approx 67^{\circ}$

Le hauban fait un angle d'environ $\mathbf{67^{\circ}}$ avec le sol.
On a $60^{\circ} \leqslant 67^{\circ} \leqslant 75^{\circ}$, donc le hauban respecte bien les conditions de maintien. Le pylône est correctement haubanné.

Pour réviser : Calculer la mesure d'un angle avec le cosinus.

Toit symétrique d’une maison

Une maison a un toit à deux pans symétriques. Chaque pan forme un angle de $35^{\circ}$ avec l'horizontale. La largeur totale du grenier (la base horizontale du toit, au niveau du plafond du dernier étage) est de $8$ m.

Toit symétrique : deux pans inclinés à 35 degrés sur une base horizontale de 8 m

Calculer la longueur $AS$ d'un pan de toit, arrondie au cm.
Le toit s'étend sur une profondeur de $12$ m (perpendiculairement au plan du dessin). On souhaite recouvrir entièrement les deux pans d'ardoises. Calculer l'aire totale à recouvrir, arrondie au $\text{m}^2$.

Corrigé

Soit $M$ le milieu de $[AB]$. Comme le toit est symétrique, $S$ est situé directement au-dessus de $M$, donc $[SM]$ est vertical et $[AM]$ est horizontal : le triangle $ASM$ est rectangle en $M$.

Comme $M$ est le milieu de $[AB]$ : $AM = \dfrac{8}{2} = 4$ m.

L'hypoténuse de ce triangle est $[AS]$ (le pan de toit, qui est la longueur cherchée).
Le côté adjacent à l'angle $\widehat{SAM} = 35^{\circ}$ est $[AM]$.

$\cos(35^{\circ}) = \dfrac{AM}{AS}$
$\cos(35^{\circ}) = \dfrac{4}{AS}$
$AS = \dfrac{4}{\cos(35^{\circ})} \approx \dfrac{4}{0{,}8192} \approx 4{,}88$ m

Un pan de toit mesure environ $4{,}88$ m.
Chaque pan est un rectangle de longueur $AS \approx 4{,}88$ m et de largeur $12$ m. Son aire vaut :
$\mathcal{A}_1 = 4{,}88 \times 12 \approx 58{,}56 \text{ m}^2$

Comme les deux pans sont identiques, l'aire totale à recouvrir est :
$\mathcal{A} = 2 \times 58{,}56 \approx 117{,}12 \text{ m}^2$

L'aire totale à recouvrir d'ardoises est d'environ $\mathbf{117 \text{ m}^2}$.

Pour réviser : Calculer l'hypoténuse avec le cosinus.

Vrai/Faux : Problèmes et raisonnement avec le cosinus

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur des situations concrètes et des raisonnements utilisant le cosinus, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur vertical. Elle forme un angle de $60^{\circ}$ avec le sol horizontal.

Affirmation : La distance entre le pied de l'échelle et le mur est $2$ m.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'échelle est l'hypoténuse ($4$ m). La distance au pied du mur est le côté adjacent à l'angle de $60^{\circ}$. Donc $d = 4 \times \cos(60^{\circ}) = 4 \times 0{,}5 = 2$ m.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Modélisation : l'échelle, le sol et le mur forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle. La distance cherchée est le côté adjacent à l'angle de $60^{\circ}$, donc $d = 4 \times \cos(60^{\circ}) = 2$ m.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $d = 4 \times \cos(60^{\circ}) = 4 \times 0{,}5 = 2$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une rampe d'accès rectiligne mesure $5$ m en longueur et avance horizontalement de $4{,}5$ m.

Affirmation : L'angle formé par la rampe avec le sol est environ $25^{\circ}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La rampe est l'hypoténuse ($5$ m), la distance horizontale est le côté adjacent à l'angle au sol ($4{,}5$ m). $\cos(\alpha) = \dfrac{4{,}5}{5} = 0{,}9$ donc $\alpha = \cos^{-1}(0{,}9) \approx 26^{\circ}$ : l'arrondi est $26^{\circ}$, pas $25^{\circ}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Calcul : $\cos(\alpha) = \dfrac{4{,}5}{5} = 0{,}9$, donc $\alpha \approx 26^{\circ}$. La valeur $25^{\circ}$ est légèrement décalée, et surtout l'arrondi obtenu n'est pas $25^{\circ}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\cos(\alpha) = 0{,}9$ donne $\alpha \approx 26^{\circ}$, pas $25^{\circ}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le toit d'une maison forme un angle de $30^{\circ}$ avec l'horizontale. Le rampant (la pente du toit, de la base au sommet) mesure $4$ m.

Affirmation : La largeur horizontale couverte par le rampant est environ $3{,}5$ m.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rampant est l'hypoténuse ($4$ m), la largeur horizontale est le côté adjacent à l'angle de $30^{\circ}$. $d = 4 \times \cos(30^{\circ}) \approx 4 \times 0{,}866 \approx 3{,}5$ m.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Modélisation : le rampant, l'horizontale et la verticale forment un triangle rectangle. La largeur horizontale est le côté adjacent à l'angle de $30^{\circ}$ : $d = 4 \times \cos(30^{\circ}) \approx 3{,}5$ m.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $d = 4 \times \cos(30^{\circ}) \approx 3{,}5$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle rectangle, on connaît seulement deux côtés de l'angle droit (sans aucun angle aigu).

Affirmation : On peut calculer le cosinus d'un des angles aigus à partir de ces deux longueurs uniquement, sans calculer l'hypoténuse.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La formule du cosinus utilise le côté adjacent et l'hypoténuse. Si on ne connaît que les deux côtés de l'angle droit, il faut d'abord calculer l'hypoténuse avec le théorème de Pythagore avant de pouvoir appliquer le cosinus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le cosinus a besoin de l'hypoténuse au dénominateur. Avec uniquement les deux côtés de l'angle droit, il faut un détour : calculer d'abord l'hypoténuse via le théorème de Pythagore.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le cosinus utilise l'hypoténuse, qu'il faut donc calculer d'abord (par exemple avec le théorème de Pythagore) si elle n'est pas connue.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un piquet vertical projette une ombre rectiligne au sol. Le rayon du soleil arrive en faisant un angle de $35^{\circ}$ avec le sol horizontal. L'extrémité de l'ombre est reliée au sommet du piquet par le rayon, formant un triangle rectangle.

Affirmation : Plus le soleil est haut dans le ciel (angle plus grand), plus l'ombre est longue.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Quand l'angle du rayon avec le sol grandit (soleil plus haut), le côté adjacent à cet angle (l'ombre) devient plus court par rapport à l'hypoténuse (le rayon). Ce résultat est cohérent avec la propriété : le cosinus diminue quand l'angle se rapproche de $90^{\circ}$. C'est l'inverse de ce qui est affirmé : l'ombre est plus courte quand le soleil est haut.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Réfléchis à l'observation quotidienne : à midi (soleil au plus haut), les ombres sont très courtes ; au coucher du soleil (angle proche de $0^{\circ}$), les ombres s'allongent. C'est l'inverse de l'affirmation.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Plus le soleil monte (angle proche de $90^{\circ}$), plus le côté adjacent (l'ombre) raccourcit : c'est cohérent avec le fait que le cosinus tend vers $0$ près de $90^{\circ}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $\widehat{B} = 30^{\circ}$.

Affirmation : Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est plus long que le côté adjacent à $\widehat{C}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Comme $\widehat{B} = 30^{\circ}$ et $\widehat{C} = 60^{\circ}$ (les deux angles aigus sont complémentaires), on a $\cos(\widehat{B}) = \cos(30^{\circ}) \approx 0{,}866$ et $\cos(\widehat{C}) = \cos(60^{\circ}) = 0{,}5$. L'hypoténuse est commune, donc le côté adjacent à $\widehat{B}$ (égal à hypoténuse $\times 0{,}866$) est plus long que le côté adjacent à $\widehat{C}$ (égal à hypoténuse $\times 0{,}5$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comparer les cosinus : $\cos(30^{\circ}) \approx 0{,}866$ et $\cos(60^{\circ}) = 0{,}5$. Comme l'hypoténuse est la même pour les deux angles, le côté adjacent à l'angle dont le cosinus est le plus grand est forcément le plus long.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\cos(30^{\circ}) > \cos(60^{\circ})$ et l'hypoténuse est commune, donc le côté adjacent à $\widehat{B}$ est plus long que celui adjacent à $\widehat{C}$.
[/solution]
[/etape]