[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : forme exponentielle, formule de Moivre, configurations géométriques et inverse d'un complexe. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La forme exponentielle de $z = 2 - 2i$ est :
[qcm]
[option]$2\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$[/option]
[option correct="true"]$2\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$[/option]
[option]$4\,e^{-i\pi/4}$[/option]
[option]$2\sqrt{2}\,e^{-i\,3\pi/4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$|z| = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Pour l'argument : $\cos\theta = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. L'image de $z$ est dans le quatrième quadrant : $\theta = -\dfrac{\pi}{4}$.
Donc $z = 2\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$.[/reponse]
[reponse motif="$2\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$"]Non.
Le signe de l'argument est faux : la partie imaginaire de $z$ est négative, donc $\sin\theta < 0$ et l'argument est négatif (modulo $2\pi$).[/reponse]
[reponse motif="$4\,e^{-i\pi/4}$"]Non.
Le module est mal calculé : $|z|^{2} = 4 + 4 = 8$, donc $|z| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ (et non $4$).[/reponse]
[reponse motif="$2\sqrt{2}\,e^{-i\,3\pi/4}$"]Non.
$-\dfrac{3\pi}{4}$ correspond au troisième quadrant ($\cos < 0$, $\sin < 0$). Or pour $z = 2 - 2i$, on a $a = 2 > 0$ : on est dans le quatrième quadrant (à droite et en bas).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $|z|$ et déterminer le quadrant à partir des signes de la partie réelle et imaginaire. Pour $z = 2 - 2i$, image en bas à droite, l'argument est entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(0)$, $B(2)$ et $C(1 + i\sqrt{3})$. Le triangle $ABC$ est :
[qcm]
[option]rectangle en $A$ et non isocèle[/option]
[option]isocèle en $A$ mais pas équilatéral[/option]
[option correct="true"]équilatéral[/option]
[option]quelconque[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On forme $Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}$.
Module : $|Z| = \dfrac{\sqrt{1 + 3}}{2} = 1$, donc $AC = AB$ (isocèle en $A$).
Argument : $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$, $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\arg(Z) = \dfrac{\pi}{3}$.
Triangle isocèle avec un angle $\dfrac{\pi}{3}$ : c'est un triangle équilatéral.[/reponse]
[reponse motif="rectangle en $A$ et non isocèle"]Non.
Pour qu'il soit rectangle en $A$, il faudrait $\arg(Z) = \pm\dfrac{\pi}{2}$, donc $Z$ imaginaire pur. Or $Z = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ a une partie réelle non nulle.[/reponse]
[reponse motif="isocèle en $A$ mais pas équilatéral"]Non.
$|Z| = 1$ donne bien isocèle en $A$. Mais l'angle vaut $\dfrac{\pi}{3}$ : un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut $\dfrac{\pi}{3}$ a tous ses angles égaux à $\dfrac{\pi}{3}$, il est donc équilatéral.[/reponse]
[reponse motif="quelconque"]Non.
Calculer effectivement le module et l'argument de $Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ révèle ici une structure très particulière (module $1$, argument $\dfrac{\pi}{3}$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Méthode : poser $Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$, calculer $|Z|$ et $\arg(Z)$. Le module donne le rapport $\dfrac{AC}{AB}$, l'argument donne l'angle $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le module du nombre complexe $z = \dfrac{(1 + i)^{4}}{2 - 2i}$ vaut :
[qcm]
[option correct="true"]$\sqrt{2}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$2\sqrt{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On utilise $\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right| = \dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$ et $|z_{1}^{n}| = |z_{1}|^{n}$ :
$|1 + i| = \sqrt{2}$ donc $|(1+i)^{4}| = (\sqrt{2})^{4} = 4$.
$|2 - 2i| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$.
Donc $|z| = \dfrac{4}{2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Erreur de simplification : $\dfrac{4}{2\sqrt{2}}$ ne vaut pas $2$ ; en effet $\dfrac{4}{2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ (en multipliant haut et bas par $\sqrt{2}$).[/reponse]
[reponse motif="$2\sqrt{2}$"]Non.
$2\sqrt{2}$ est le module du dénominateur $2 - 2i$, et non celui du quotient. Penser à diviser le module du numérateur par celui du dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$"]Non.
On a inversé numérateur et dénominateur : c'est $|2 - 2i| / |(1+i)^{4}| = \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, qui est le module de $\dfrac{1}{z}$ et non de $z$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément les modules du numérateur et du dénominateur, puis faire le quotient. Penser que $|z^{n}| = |z|^{n}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La partie réelle du nombre $z = e^{i\pi/3}$ vaut :
[qcm]
[option]$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par définition $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, donc la partie réelle vaut $\cos\theta$. Ici $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est la valeur de $\sin\dfrac{\pi}{3}$, donc la partie imaginaire de $e^{i\pi/3}$. La partie réelle est $\cos\dfrac{\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\cos\dfrac{\pi}{3} = +\dfrac{1}{2}$ (et non $-\dfrac{1}{2}$). $\dfrac{\pi}{3}$ est dans le premier quadrant, donc cosinus positif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Confusion entre l'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et la valeur de son cosinus. $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, pas $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la définition $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. La partie réelle est $\cos\theta$, la partie imaginaire est $\sin\theta$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
En appliquant la formule de Moivre, $\cos(2\theta)$ s'exprime en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ par :
[qcm]
[option]$2\cos\theta\sin\theta$[/option]
[option]$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta$[/option]
[option correct="true"]$\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$[/option]
[option]$2\cos\theta$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2} = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$.
En développant : $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2} = \cos^{2}\theta + 2i\cos\theta\sin\theta - \sin^{2}\theta$.
En identifiant les parties réelles : $\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$.[/reponse]
[reponse motif="$2\cos\theta\sin\theta$"]Non.
$2\cos\theta\sin\theta$ est la partie imaginaire du développement, donc l'expression de $\sin(2\theta)$ et non de $\cos(2\theta)$.[/reponse]
[reponse motif="$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta$"]Non.
$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ est l'identité fondamentale (constante), pas une expression dépendant de $\theta$. $\cos(2\theta)$ varie entre $-1$ et $1$, donc ne peut pas être constamment égal à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$2\cos\theta$"]Non.
Cette expression ne provient d'aucun développement correct. La formule de Moivre fait apparaître à la fois $\cos^{2}\theta$ et $\sin^{2}\theta$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2}$ comme un carré et identifier avec $\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$. La partie réelle donne $\cos(2\theta)$, la partie imaginaire donne $\sin(2\theta)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z$ un nombre complexe non nul de forme exponentielle $z = r\,e^{i\theta}$ (avec $r > 0$). L'inverse $\dfrac{1}{z}$ s'écrit :
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{r}\,e^{-i\theta}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{r}\,e^{i\theta}$[/option]
[option]$r\,e^{-i\theta}$[/option]
[option]$-r\,e^{i\theta}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{r\,e^{i\theta}} = \dfrac{1}{r} \times \dfrac{1}{e^{i\theta}} = \dfrac{1}{r} \times e^{-i\theta}$.
Le module est inversé ($\dfrac{1}{r}$), l'argument est opposé ($-\theta$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{r}\,e^{i\theta}$"]Non.
Le module est bien inversé, mais l'argument doit être opposé aussi : $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) = -\arg(z)$, donc $-\theta$.[/reponse]
[reponse motif="$r\,e^{-i\theta}$"]Non.
L'argument est correctement opposé, mais le module aussi doit être inversé : $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|} = \dfrac{1}{r}$, et non $r$.[/reponse]
[reponse motif="$-r\,e^{i\theta}$"]Non.
$-r\,e^{i\theta} = -z$ est l'opposé de $z$, pas son inverse. L'inverse change à la fois le module ($\dfrac{1}{r}$) et le signe de l'argument ($-\theta$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour l'inverse d'un complexe non nul en forme exponentielle : module inversé ($\dfrac{1}{r}$), argument opposé ($-\theta$). Cela donne $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{r}\,e^{-i\theta}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]