Échantillonnage
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1 - Échantillon et fréquence
Définition
On considère une expérience aléatoire à deux issues : l'une appelée succès, l'autre échec. On note $p$ la probabilité du succès.
Répéter $n$ fois cette expérience, de façon indépendante et dans les mêmes conditions, constitue un échantillon de taille $n$.
Définition
Pour un échantillon de taille $n$, si le succès est obtenu $k$ fois, la fréquence du succès dans cet échantillon est :
Exemple
On lance $50$ fois une pièce équilibrée. Le succès est « obtenir Pile », de probabilité $p = 0{,}5$.
Si Pile apparaît $27$ fois, la fréquence observée de Pile dans cet échantillon de taille $n = 50$ est :
La fréquence $f = 0{,}54$ est proche de la probabilité $p = 0{,}5$, mais elle ne lui est pas exactement égale.
Remarque
Il ne faut pas confondre $p$ et $f$ :
$p$ est une valeur théorique, fixée par l'expérience, toujours la même.
$f$ est une valeur observée, qui dépend de l'échantillon et change d'un échantillon à l'autre.
2 - Fluctuation d'échantillonnage
Propriété
Deux échantillons de même taille $n$ d'une même expérience donnent en général des fréquences de succès différentes. Ce phénomène s'appelle la fluctuation d'échantillonnage.
Exemple
On simule $5$ échantillons de taille $n = 100$ pour le lancer d'une pièce équilibrée ($p = 0{,}5$). On peut obtenir, par exemple, les fréquences de Pile suivantes :
Toutes ces fréquences sont proches de $0{,}5$, mais elles varient d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
Propriété
Pour un échantillon de taille $n$, l'écart entre la fréquence observée $f$ et la probabilité $p$ est, le plus souvent, de l'ordre de :
Autrement dit, dans la grande majorité des échantillons, on observe $|f - p| \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$. Plus $n$ est grand, plus ce seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est petit, donc plus la fréquence a de chances d'être proche de $p$.
Exemple
Pour un échantillon de taille $n = 100$, le seuil vaut :
On s'attend donc à ce que la plupart des fréquences observées soient comprises entre $0{,}5 - 0{,}1 = 0{,}4$ et $0{,}5 + 0{,}1 = 0{,}6$, ce qui est bien le cas dans l'exemple précédent.
Pour $n = 10\,000$, le seuil n'est plus que de $\dfrac{1}{\sqrt{10\,000}} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$ : la fluctuation est dix fois plus faible.
3 - Loi des grands nombres (version vulgarisée)
Propriété
Loi des grands nombres (énoncé vulgarisé).
Lorsque la taille $n$ de l'échantillon est grande, sauf exception, la fréquence observée $f$ du succès est proche de sa probabilité $p$.
Remarque
La loi des grands nombres ne garantit pas que $f$ sera exactement égale à $p$ : il restera toujours une petite fluctuation. Elle affirme seulement que cette fluctuation devient de plus en plus faible à mesure que $n$ augmente. Le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ donne un ordre de grandeur de cette fluctuation.
Exemple
Pour le lancer d'une pièce équilibrée ($p = 0{,}5$), on relève la fréquence de Pile pour des échantillons de tailles croissantes :
Plus $n$ augmente, plus la fréquence observée se rapproche de $p = 0{,}5$.
4 - Estimer une probabilité par une fréquence
Dans de nombreuses situations, on ne connaît pas la probabilité $p$ d'un succès (pièce truquée, proportion de pièces défectueuses dans une usine, intention de vote…). La loi des grands nombres permet alors d'en obtenir une estimation.
Propriété
Si la taille $n$ de l'échantillon est grande, la fréquence observée $f$ donne une estimation de la probabilité (ou de la proportion) $p$ inconnue :
L'estimation est d'autant plus fiable que $n$ est grand.
Exemple
Une usine veut estimer la proportion $p$ de pièces défectueuses dans sa production. Elle prélève un échantillon de $n = 500$ pièces et en trouve $15$ défectueuses.
La fréquence observée de pièces défectueuses est :
On estime donc la proportion de pièces défectueuses à environ $3\,\%$ de la production.
Remarque
Cette estimation reste soumise à la fluctuation d'échantillonnage : un autre échantillon de $500$ pièces donnerait probablement une fréquence un peu différente. Pour réduire l'incertitude, il faut augmenter la taille de l'échantillon.
5 - Simuler sur Python
On peut observer la loi des grands nombres en simulant une expérience aléatoire sur ordinateur. Le module random fournit la fonction randint(a, b) qui renvoie un entier au hasard entre $a$ et $b$ (bornes incluses).
Simulons le lancer d'un dé équilibré, où le succès est « obtenir un $6$ », de probabilité $p = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$. La fonction suivante simule un échantillon de taille $n$ et renvoie la fréquence de succès :
from random import randint
def frequence_six(n):
succes = 0 # on compte les succès
for i in range(n): # on répète l'expérience n fois
if randint(1, 6) == 6: # un lancer du dé
succes = succes + 1
return succes / n # fréquence observéeEn appelant cette fonction pour des tailles d'échantillon de plus en plus grandes, on constate que la fréquence renvoyée se rapproche de $p \approx 0{,}167$ :
print(frequence_six(10)) # par exemple 0.1
print(frequence_six(1000)) # par exemple 0.172
print(frequence_six(100000)) # par exemple 0.1668Remarque
Les résultats affichés changent à chaque exécution (le hasard intervient) : c'est encore la fluctuation d'échantillonnage. Mais pour les grandes valeurs de $n$, la fréquence reste à chaque fois très proche de $0{,}167$, ce qui illustre la loi des grands nombres.
On peut aussi simuler $N$ échantillons de taille $n$ et compter la proportion de ceux pour lesquels l'écart entre la fréquence $f$ et la probabilité $p$ est inférieur ou égal au seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ :
p = 1 / 6
n = 100
N = 1000
seuil = 1 / n ** 0.5 # le seuil 1/racine(n)
dans_le_seuil = 0
for j in range(N): # on génère N échantillons
f = frequence_six(n) # fréquence du j-ième échantillon
if abs(f - p) <= seuil: # l'écart est-il sous le seuil ?
dans_le_seuil = dans_le_seuil + 1
print(dans_le_seuil / N) # proportion proche de 0.95On observe que cette proportion est très élevée (de l'ordre de $0{,}95$) : pour la grande majorité des échantillons, la fréquence $f$ est bien à une distance d'au plus $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ de la probabilité $p$.
Les questions essentielles
1. Comment calculer la fréquence de succès dans un échantillon ?
On divise le nombre de succès $k$ par la taille $n$ de l'échantillon : $f = \dfrac{k}{n}$.
Voir la fiche méthode : Calculer la fréquence de succès dans un échantillon
2. Comment estimer une probabilité inconnue ?
On prélève un grand échantillon et on calcule la fréquence observée $f$ : la loi des grands nombres permet d'affirmer que $p \approx f$.
Voir la fiche méthode : Estimer une probabilité par une fréquence
3. Comment simuler des échantillons en Python ?
On utilise la fonction randint du module random dans une boucle pour répéter l'expérience $n$ fois, on compte les succès, puis on calcule la fréquence.
Voir la fiche méthode : Simuler des échantillons en Python