Estimer une probabilité par une fréquence
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Lorsqu'on ne connaît pas la probabilité $p$ d'un succès (pièce truquée, intention de vote, proportion d'objets défectueux…), on peut l'estimer à partir d'un échantillon. La loi des grands nombres assure en effet que, pour un grand échantillon, la fréquence observée $f$ est proche de $p$.
- Repérer l'expérience à deux issues : préciser ce qu'est le « succès » et l'« échec ».
- Relever la taille de l'échantillon $n$ et le nombre de succès observés $k$.
Calculer la fréquence observée du succès :
$ f = \dfrac{k}{n} $- Estimer la probabilité (ou la proportion) inconnue par cette fréquence : $p \approx f$.
- Apprécier la fiabilité de l'estimation : l'écart entre $p$ et $f$ est le plus souvent au plus $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$. Plus $n$ est grand, plus ce seuil est petit, donc plus l'estimation est précise.
Estimer une intention de vote (sondage)
Avant une élection, un institut interroge $n = 1\,000$ personnes choisies au hasard. Parmi elles, $540$ déclarent vouloir voter pour le candidat A. On cherche à estimer la proportion $p$ d'électeurs favorables à A dans toute la population.
Étape 1 : L'expérience a deux issues : « voter pour A » (succès) ou « ne pas voter pour A » (échec).
Étape 2 : La taille de l'échantillon est $n = 1\,000$ et le nombre de succès est $k = 540$.
Étape 3 : On calcule la fréquence observée :
Étape 4 : On estime la proportion d'électeurs favorables à A par $p \approx 0{,}54$, soit environ $54\,\%$.
Étape 5 : Le seuil de fluctuation vaut $\dfrac{1}{\sqrt{1\,000}} \approx 0{,}032$ : l'estimation est donc fiable à environ $3$ points près.
La proportion d'électeurs favorables au candidat A est estimée à $\mathbf{54\,\%}$.
Estimer un taux de défauts (contrôle qualité)
Une usine produit des ampoules. Pour estimer la proportion $p$ d'ampoules défectueuses, on prélève au hasard un échantillon de $n = 400$ ampoules : $12$ d'entre elles sont défectueuses.
Étape 1 : L'expérience a deux issues : « l'ampoule est défectueuse » (succès) ou « l'ampoule fonctionne » (échec).
Étape 2 : La taille de l'échantillon est $n = 400$ et le nombre de succès est $k = 12$.
Étape 3 : On calcule la fréquence observée des ampoules défectueuses :
Étape 4 : On estime la proportion d'ampoules défectueuses par $p \approx 0{,}03$, soit environ $3\,\%$.
Étape 5 : Le seuil de fluctuation vaut $\dfrac{1}{\sqrt{400}} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05$. Avec $n = 400$, l'estimation reste imprécise : pour la fiabiliser, l'usine aurait intérêt à contrôler un échantillon plus grand.
La proportion d'ampoules défectueuses est estimée à environ $\mathbf{3\,\%}$.
Remarque
Estimer une probabilité par une fréquence n'a de sens que si l'échantillon est grand et prélevé au hasard. Sur un petit échantillon, la fréquence fluctue trop pour donner une estimation utilisable : avec seulement $10$ lancers d'une pièce, obtenir $7$ fois Pile ne signifie pas que la pièce est truquée.
Attention
L'estimation $p \approx f$ reste soumise à la fluctuation d'échantillonnage : un autre échantillon de même taille donnerait une fréquence un peu différente, donc une estimation légèrement différente. Le symbole $\approx$ est essentiel : on n'écrit jamais $p = f$, car la fréquence observée n'est presque jamais exactement égale à la probabilité.
Pour rendre l'estimation plus précise, le seul levier est d'augmenter la taille $n$ de l'échantillon, ce qui diminue le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.