Fonction définie par une intégrale à borne supérieure variable

La fonction $ f : t \mapsto e^{-t} $ est continue sur $ [0\,;+\infty[ $. D'après le théorème sur l'intégrale fonction de sa borne supérieure, la fonction $ x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,\text{d}t $ est la primitive de $ f $ qui s'annule en $ 0 $. C'est exactement la définition de $ F $, donc $ F $ est la primitive de $ f $ qui s'annule en $ 0 $.

On en déduit immédiatement $ F(0) = 0 $ et, pour tout $ x \in [0\,;+\infty[ $, $ F'(x) = f(x)$ = $\mathbf{e^{-x}}$.

Pour tout réel $ t $, $ e^{-t} > 0 $, donc $ f(t) > 0 $ sur $ [0\,;+\infty[ $.

Comme $ F'(x) = f(x) > 0 $ sur $ [0\,;+\infty[ $, la fonction $ F $ est strictement croissante sur $ [0\,;+\infty[ $.

On a $ F(0) = 0 $. De plus, $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 $, donc (d'après la question 4) $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $.

Une primitive de $ t \mapsto e^{-t} $ est $ t \mapsto -e^{-t} $. On calcule donc :

$ F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} e^{-t}\,\text{d}t = \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{x} = -e^{-x} - (-e^{0}) = -e^{-x} + 1 $

soit, pour tout $ x \in [0\,;+\infty[ $, $ F(x) $ = $\mathbf{1 - e^{-x}}$.

1. On utilise l'expression trouvée à la question 4.

   $ F(1) = 1 - e^{-1} $, soit $ F(1) \approx 0{,}632 $.

   $ F(2) = 1 - e^{-2} $, soit $ F(2) \approx 0{,}865 $.

2. On résout $ F(x) = \dfrac{1}{2} $, c'est-à-dire $ 1 - e^{-x} = \dfrac{1}{2} $.

   $ e^{-x} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} $

   $ -x = \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2 $

   d'où $ x $ = $\mathbf{\ln 2}$, qui appartient bien à $ [0\,;+\infty[ $ car $ \ln 2 \approx 0{,}693 > 0 $.