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Schéma de Bernoulli - Loi binomiale Exercices

Loi binomiale : probabilités cumulées

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

Exercice

Une entreprise de livraison achemine chaque jour de nombreux colis. On admet que, indépendamment les uns des autres, chaque colis a une probabilité $0{,}15$ d'être livré en retard.

On prélève au hasard un échantillon de $20$ colis dans la production d'une journée. Le nombre de colis prélevés étant très faible devant la production totale, on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de colis livrés en retard parmi les $20$ colis de l'échantillon.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
  2. Calculer la probabilité que les $20$ colis soient livrés à l'heure. Arrondir au millième.
  3. En déduire la probabilité qu'au moins un colis soit livré en retard. Arrondir au millième.
  4. Calculer la probabilité qu'au plus $2$ colis soient livrés en retard. Arrondir au millième.
  5. Calculer la probabilité qu'au moins $4$ colis soient livrés en retard. Arrondir au millième.
  6. Calculer la probabilité que le nombre de colis livrés en retard soit compris entre $2$ et $5$ (bornes incluses). Arrondir au millième.

Corrigé

  1. On répète $20$ fois, de façon indépendante, la même expérience à deux issues : le colis est « en retard » (succès, de probabilité $p = 0{,}15$) ou « à l'heure » (échec, de probabilité $1 - p = 0{,}85$). On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli, et $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}15$.

    $X \sim \mathscr{B}(20~;~0{,}15)$

  2. Les $20$ colis sont livrés à l'heure lorsque $X = 0$ (aucun retard) :
    $P(X = 0) = \binom{20}{0} (0{,}15)^0 (0{,}85)^{20} = (0{,}85)^{20} \approx 0{,}039$

    La probabilité que les $20$ colis soient à l'heure est d'environ $\mathbf{0{,}039}$.

  3. L'événement « au moins un colis en retard » ($X \geqslant 1$) est l'événement contraire de « aucun colis en retard » ($X = 0$). On utilise donc le complémentaire :
    $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}85)^{20} \approx 1 - 0{,}039 \approx 0{,}961$

    La probabilité qu'au moins un colis soit en retard est d'environ $\mathbf{0{,}961}$.

  4. « Au plus $2$ colis en retard » se traduit par $X \leqslant 2$. À la calculatrice (fonction binomFRép) :
    $P(X \leqslant 2) \approx 0{,}405$

    La probabilité qu'au plus $2$ colis soient en retard est d'environ $\mathbf{0{,}405}$.

  5. « Au moins $4$ colis en retard » se traduit par $X \geqslant 4$. Comme $X$ ne prend que des valeurs entières, l'événement contraire de $X \geqslant 4$ est $X \leqslant 3$. On passe au complémentaire :
    $P(X \geqslant 4) = 1 - P(X \leqslant 3)$

    La calculatrice donne $P(X \leqslant 3) \approx 0{,}648$, d'où :
    $P(X \geqslant 4) \approx 1 - 0{,}648 \approx 0{,}352$

    La probabilité qu'au moins $4$ colis soient en retard est d'environ $\mathbf{0{,}352}$.

  6. Le nombre de retards compris entre $2$ et $5$ inclus correspond à $2 \leqslant X \leqslant 5$. Pour isoler cet intervalle, on retire de $P(X \leqslant 5)$ les valeurs de $0$ à $1$, c'est-à-dire $P(X \leqslant 1)$ :
    $P(2 \leqslant X \leqslant 5) = P(X \leqslant 5) - P(X \leqslant 1)$

    La calculatrice donne $P(X \leqslant 5) \approx 0{,}933$ et $P(X \leqslant 1) \approx 0{,}176$, d'où :
    $P(2 \leqslant X \leqslant 5) \approx 0{,}933 - 0{,}176 \approx 0{,}757$

    La probabilité que le nombre de colis en retard soit compris entre $2$ et $5$ est d'environ $\mathbf{0{,}757}$.