Calculer la distance d’un point à une droite dans l’espace
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Distance d'un point à une droite de l'espace
La distance d'un point $ A $ à une droite $ d $ est la plus petite distance entre $ A $ et un point de $ d $. Elle est atteinte au projeté orthogonal $ H $ de $ A $ sur $ d $ : la distance cherchée vaut alors $ AH $.
Soit $ d $ la droite passant par un point $ B $ et de vecteur directeur $ \vec{u} $.
- Paramétrer un point courant $ M $ de la droite $ d $ : $ M = B + t\,\vec{u} $, soit $ \begin{cases} x = x_{B} + t\,u_{x} \\ y = y_{B} + t\,u_{y} \\ z = z_{B} + t\,u_{z} \end{cases} $ avec $ t \in \mathbb{R} $.
- Exprimer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AM} $ en fonction de $ t $.
- Écrire que $ \overrightarrow{AM} $ est orthogonal au vecteur directeur $ \vec{u} $, c'est-à-dire $ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0 $, et résoudre l'équation obtenue pour trouver la valeur de $ t $.
- Remplacer $ t $ par cette valeur : le point $ M $ obtenu est le projeté orthogonal $ H $.
- La distance cherchée est $ AH = \left\| \overrightarrow{AH} \right\| $.
Remarque
La condition $ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0 $ traduit que la droite $ (AM) $ est perpendiculaire à $ d $ : c'est exactement la définition du projeté orthogonal sur une droite. Voir aussi la méthode pour le projeté orthogonal sur un plan, qui suit une démarche analogue.
2. Exemple : distance entière
Le projeté tombe sur des coordonnées entières
On considère le point $ A\left(2 ; 1 ; 0\right) $ et la droite $ d $ passant par $ B\left(-2 ; 0 ; 1\right) $ et de vecteur directeur $ \vec{u}\left(2 ; 2 ; 1\right) $.
Étape 1 : On paramètre un point courant $ M $ de $ d $ :
$ \begin{cases} x = -2 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $
Étape 2 : On calcule les coordonnées de $ \overrightarrow{AM} $ :
$ \overrightarrow{AM}\left(-2 + 2t - 2 \;;\; 2t - 1 \;;\; 1 + t - 0\right) $
$ \overrightarrow{AM}\left(2t - 4 \;;\; 2t - 1 \;;\; t + 1\right) $
Étape 3 : On écrit que $ \overrightarrow{AM} $ est orthogonal à $ \vec{u} $ :
$ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 2\left(2t - 4\right) + 2\left(2t - 1\right) + 1 \times \left(t + 1\right) = 0 $
$ 4t - 8 + 4t - 2 + t + 1 = 0 $
$ 9t - 9 = 0 $
$ t = 1 $
Étape 4 : On remplace $ t $ par $ 1 $ pour obtenir le projeté orthogonal $ H $ :
$ x_{H} = -2 + 2 \times 1 = 0 \qquad y_{H} = 2 \times 1 = 2 \qquad z_{H} = 1 + 1 = 2 $
Le projeté orthogonal de $ A $ sur $ d $ est $ H\left(0 ; 2 ; 2\right) $.
Étape 5 : On calcule la distance $ AH $ :
$ \overrightarrow{AH}\left(0 - 2 \;;\; 2 - 1 \;;\; 2 - 0\right) = \overrightarrow{AH}\left(-2 ; 1 ; 2\right) $
$ AH = \sqrt{\left(-2\right)^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} $
La distance du point $ A $ à la droite $ d $ est $ AH = $ $\mathbf{3}$.
3. Exemple : distance non entière
Le projeté tombe sur des coordonnées fractionnaires
On considère le point $ A\left(1 ; 4 ; 2\right) $ et la droite $ d $ passant par l'origine $ O\left(0 ; 0 ; 0\right) $ et de vecteur directeur $ \vec{u}\left(1 ; 1 ; 1\right) $.
Étape 1 : On paramètre un point courant $ M $ de $ d $ :
$ \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $
Étape 2 : On calcule les coordonnées de $ \overrightarrow{AM} $ :
$ \overrightarrow{AM}\left(t - 1 \;;\; t - 4 \;;\; t - 2\right) $
Étape 3 : On écrit que $ \overrightarrow{AM} $ est orthogonal à $ \vec{u} $ :
$ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 1 \times \left(t - 1\right) + 1 \times \left(t - 4\right) + 1 \times \left(t - 2\right) = 0 $
$ 3t - 7 = 0 $
$ t = \dfrac{7}{3} $
Étape 4 : On remplace $ t $ par $ \dfrac{7}{3} $ pour obtenir le projeté orthogonal $ H $ :
$ x_{H} = \dfrac{7}{3} \qquad y_{H} = \dfrac{7}{3} \qquad z_{H} = \dfrac{7}{3} $
Le projeté orthogonal de $ A $ sur $ d $ est $ H\left(\dfrac{7}{3} ; \dfrac{7}{3} ; \dfrac{7}{3}\right) $.
Étape 5 : On calcule la distance $ AH $ :
$ \overrightarrow{AH}\left(\dfrac{7}{3} - 1 \;;\; \dfrac{7}{3} - 4 \;;\; \dfrac{7}{3} - 2\right) = \overrightarrow{AH}\left(\dfrac{4}{3} ; -\dfrac{5}{3} ; \dfrac{1}{3}\right) $
$ AH = \sqrt{\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} + \left(-\dfrac{5}{3}\right)^{2} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{16 + 25 + 1}{9}} = \sqrt{\dfrac{42}{9}} $
En sortant le dénominateur de la racine :
$ AH = \dfrac{\sqrt{42}}{3} $
La distance du point $ A $ à la droite $ d $ est $ AH = $ $\mathbf{\dfrac{\sqrt{42}}{3}}$, soit environ $ 2{,}16 $.
Attention
Trois erreurs fréquentes sont à éviter.
- Ne pas confondre le projeté orthogonal $ H $ avec le point $ B $ qui sert à définir la droite : $ B $ est un point quelconque de $ d $, alors que $ H $ est le point précis de $ d $ le plus proche de $ A $.
- L'orthogonalité s'écrit entre $ \overrightarrow{AM} $ et le vecteur directeur $ \vec{u} $, et non entre $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AB} $. C'est bien $ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0 $ qu'il faut résoudre.
- La distance demandée est $ AH $, et non la valeur du paramètre $ t $ : il ne faut surtout pas s'arrêter à l'étape où l'on trouve $ t $.