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Solides et volumes Exercices

Flacons de parfum : agrandissement et volumes

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

Un parfumeur conditionne son parfum dans des flacons en forme de pyramide à base carrée. Le flacon standard a une base carrée de $4$ cm de côté et une hauteur de $6$ cm.

Pour fêter ses cinquante ans d'existence, la maison prévoit un flacon collector dont toutes les dimensions (côté de la base et hauteur) sont multipliées par $\dfrac{5}{2}$ par rapport au flacon standard.

  1. Calculer le volume du flacon standard, en cm³, puis en mL ($1$ cm³ $= 1$ mL).
  2. Donner les dimensions (côté de la base et hauteur) du flacon collector, en cm.
  3. Calculer le volume du flacon collector, en mL, en utilisant directement la formule du volume.
  4. Retrouver le volume du flacon collector en utilisant la propriété sur les volumes lors d'un agrandissement de coefficient $k = \dfrac{5}{2}$.
  5. Le flacon collector est vendu $250$ €. Calculer le prix au mL, arrondi au centime près.

Corrigé

  1. On applique la formule du volume d'une pyramide. La base est un carré de côté $4$ cm, donc d'aire $4 \times 4 = 16$ cm². La hauteur vaut $6$ cm.

    $V = \dfrac{16 \times 6}{3} = \dfrac{96}{3} = 32$

    Le flacon standard a un volume de $32$ cm³, soit $32$ mL.

  2. Toutes les dimensions sont multipliées par $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ :

    • côté de la base : $4 \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$ cm
    • hauteur : $6 \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$ cm

    Le flacon collector mesure $10$ cm de côté à la base et $15$ cm de hauteur.

  3. La base du flacon collector a pour aire $10 \times 10 = 100$ cm². On applique la formule du volume :

    $V' = \dfrac{100 \times 15}{3} = \dfrac{1\,500}{3} = 500$

    Le flacon collector a un volume de $500$ mL.

  4. Lors d'un agrandissement de coefficient $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. Avec $k = \dfrac{5}{2}$ :

    $k^3 = \left(\dfrac{5}{2}\right)^3 = \dfrac{5^3}{2^3} = \dfrac{125}{8}$

    $V' = V \times k^3 = 32 \times \dfrac{125}{8} = \dfrac{32 \times 125}{8} = \dfrac{4\,000}{8} = 500$

    On retrouve bien $V' = 500$ mL, ce qui confirme le résultat de la question 3.

  5. Le prix au mL est :

    $\dfrac{250}{500} = 0{,}50$

    Le flacon collector est vendu $0{,}50$ € par mL.

Pour réviser : Calculer le volume d'une pyramide