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Cosinus Exercices

Hauteur dans un triangle quelconque

Durée estimée
15 minutes
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Objectifs travaillés

$ABC$ est un triangle tel que $AC = 10$ cm, $BC = 14$ cm et $\widehat{ACB} = 50^{\circ}$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ : $H$ appartient à la droite $(BC)$ et $(AH) \perp (BC)$.

On admet que $H$ appartient au segment $[BC]$.

Triangle ABC avec AC = 10 cm, BC = 14 cm, angle ACB = 50 degrés et H pied de la hauteur issue de A
  1. Justifier que le triangle $ACH$ est rectangle en $H$, puis calculer la longueur $CH$, arrondie au mm.
  2. Calculer la longueur $AH$ (la hauteur du triangle issue de $A$), arrondie au mm.
  3. En déduire la longueur $BH$, puis la longueur $AB$, arrondie au mm.
  4. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré.

Corrigé

  1. Par construction, $(AH) \perp (BC)$ et $H \in (BC)$. Le triangle $ACH$ est donc rectangle en $H$.

    L'hypoténuse de $ACH$ est $[AC]$ ($10$ cm). Le côté adjacent à $\widehat{ACH} = 50^{\circ}$ est $[CH]$.

    $\cos(\widehat{ACH}) = \dfrac{CH}{AC}$
    $\cos(50^{\circ}) = \dfrac{CH}{10}$
    $CH = 10 \times \cos(50^{\circ}) \approx 10 \times 0{,}6428 \approx 6{,}428$ cm

    On obtient $CH \approx 6{,}4$ cm.

  2. Le triangle $ACH$ est rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore :
    $AC^2 = AH^2 + CH^2$
    $10^2 = AH^2 + (10\cos(50^{\circ}))^2$
    $AH^2 = 100 - 41{,}32$
    $AH^2 \approx 58{,}68$
    $AH \approx \sqrt{58{,}68} \approx 7{,}66$ cm

    On obtient $AH \approx 7{,}7$ cm.

  3. Comme $H$ appartient au segment $[BC]$ :
    $BH = BC - CH \approx 14 - 6{,}428 \approx 7{,}572$ cm

    Donc $BH \approx 7{,}6$ cm.

    Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ (par construction de $H$). D'après le théorème de Pythagore :
    $AB^2 = AH^2 + BH^2$
    $AB^2 \approx 58{,}68 + 57{,}33$
    $AB^2 \approx 116{,}01$
    $AB \approx \sqrt{116{,}01} \approx 10{,}77$ cm

    On obtient $AB \approx 10{,}8$ cm.

  4. Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$, $[AB]$ est l'hypoténuse, et $[BH]$ est le côté adjacent à $\widehat{ABH}$.

    $\cos(\widehat{ABH}) = \dfrac{BH}{AB} \approx \dfrac{7{,}572}{10{,}77} \approx 0{,}703$
    $\widehat{ABH} = \cos^{-1}(0{,}703) \approx 45^{\circ}$

    L'angle $\widehat{ABC}$ et l'angle $\widehat{ABH}$ sont identiques (puisque $H \in [BC]$), donc $\mathbf{\widehat{ABC} \approx 45^{\circ}}$.

Pour réviser : Résoudre un problème concret avec le cosinus.